Pembuktian Rumus ABC (Rumus Kuadrat)

Rumus abc (rumus kuadrat) digunakan dalam menentukan akar-akar persamaan kuadrat. Rumus ini biasanya digunakan pada persamaan kuadrat yang sulit diselesaikan dengan pemfaktoran. Namun oleh sebagian orang, rumus ini dijadikan sebagai metode utama.

Rumus ini berasal dari bentuk umum persamaan kuadrat yang diselesaikan dengan melengkapkan bentuk kuadrat sempurna. Jadi, sebelum melangkah ke pembuktian rumus abc, sebaiknya anda membaca langkah-langkah penyelesaian persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna.

Pembuktian ini kita mulai dari bentuk umum persamaan kuadrat.

    \[ax^2 + bx + c = 0, \quad a \neq 0\]

Agar dapat diubah menjadi bentuk kuadrat yang sederhana, maka kedua ruas persamaan dibagi dengan a. Pembagian dengan a dibolehkan, mengingat a \neq 0. Kedua ruas juga dapat dikalikan dengan 4a, sebagaimana dibahas dalam cara lain membuktikan rumus abc. Bahkan bentuk umum persamaan kuadrat dapat langsung diuraikan, mengingat a=(\sqrt{a})^2. Namun, 1 merupakan bilangan kuadrat yang paling sederhana. sehingga kita membagi kedua ruas dengan a.

    \begin{align*} \frac{ax^2 + bx + c}{a} &= \frac{0}{a} \\ x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} &= 0 \end{align*}

Tambahkan kedua ruas dengan -\frac{c}{a}.

    \[x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}\]

Tambahkan \left( \frac{b}{2a} \right) ^2 pada kedua ruas.

    \[x^2 + \frac{b}{a}x + \left( \frac{b}{2a} \right) ^2 = -\frac{c}{a} + \left( \frac{b}{2a} \right) ^2\]

Ubah ruas kiri menjadi bentuk kuadrat dan sederhanakan ruas kanan.

    \begin{align*} \left( x + \frac{b}{2a} \right) ^2 &= -\frac{c}{a} + \frac{b^2}{4a^2} \\ \left( x + \frac{b}{2a} \right) ^2 &= -\frac{4ac}{4a^2} + \frac{b^2}{4a^2} \\ \left( x + \frac{b}{2a} \right) ^2 &= \frac{b^2-4ac}{4a^2} \\ x + \frac{b}{2a} &= \pm \sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}} \\ x &= -\frac{b}{2a} \pm \sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}} \\ x &= -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ x &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{align*}

Voila. Inilah rumus abc yang sering kita gunakan dalam menyelesaikan persamaan kuadrat. Untuk penjelasan lebih lanjut mengenai penggunaan rumus ini, silahkan baca tulisan berjudul Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Rumus ABC.

You may also like...

3 Responses

  1. Muhaimin says:

    Artikel yg sungguh bermanfaat, akhirnya rasa penasaran saya sejak duduk dibangku smp terjawab sudah

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.