Pembuktian Rumus ABC (Rumus Kuadrat)

Rumus abc (rumus kuadrat) digunakan dalam menentukan akar-akar persamaan kuadrat. Rumus ini biasanya digunakan pada persamaan kuadrat yang sulit diselesaikan dengan pemfaktoran. Namun oleh sebagian orang, rumus ini dijadikan sebagai metode utama.

Rumus ini berasal dari bentuk umum persamaan kuadrat yang diselesaikan dengan melengkapkan bentuk kuadrat sempurna. Jadi, sebelum melangkah ke pembuktian rumus abc, sebaiknya anda membaca langkah-langkah penyelesaian persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna.

Pembuktian ini kita mulai dari bentuk umum persamaan kuadrat.

    \[ax^2 + bx + c = 0, \quad a \neq 0\]

Agar dapat diubah menjadi bentuk kuadrat yang sederhana, maka kedua ruas persamaan dibagi dengan a. Pembagian dengan a dibolehkan, mengingat a \neq 0. Kedua ruas juga dapat dikalikan dengan 4a, sebagaimana dibahas dalam cara lain membuktikan rumus abc. Bahkan bentuk umum persamaan kuadrat dapat langsung diuraikan, mengingat a=(\sqrt{a})^2. Namun, 1 merupakan bilangan kuadrat yang paling sederhana. sehingga kita membagi kedua ruas dengan a.

    \begin{align*} \frac{ax^2 + bx + c}{a} &= \frac{0}{a} \\ x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} &= 0 \end{align*}

Tambahkan kedua ruas dengan -\frac{c}{a}.

    \[x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}\]

Tambahkan \left( \frac{b}{2a} \right) ^2 pada kedua ruas.

    \[x^2 + \frac{b}{a}x + \left( \frac{b}{2a} \right) ^2 = -\frac{c}{a} + \left( \frac{b}{2a} \right) ^2\]

Ubah ruas kiri menjadi bentuk kuadrat dan sederhanakan ruas kanan.

    \begin{align*} \left( x + \frac{b}{2a} \right) ^2 &= -\frac{c}{a} + \frac{b^2}{4a^2} \\ \left( x + \frac{b}{2a} \right) ^2 &= -\frac{4ac}{4a^2} + \frac{b^2}{4a^2} \\ \left( x + \frac{b}{2a} \right) ^2 &= \frac{b^2-4ac}{4a^2} \\ x + \frac{b}{2a} &= \pm \sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}} \\ x &= -\frac{b}{2a} \pm \sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}} \\ x &= -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ x &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{align*}

Voila. Inilah rumus abc yang sering kita gunakan dalam menyelesaikan persamaan kuadrat. Untuk penjelasan lebih lanjut mengenai penggunaan rumus ini, silahkan baca tulisan berjudul Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Rumus ABC.

Mungkin Anda juga menyukai

3 Respon

  1. Muhaimin berkata:

    Artikel yg sungguh bermanfaat, akhirnya rasa penasaran saya sejak duduk dibangku smp terjawab sudah

  1. 20 Juni 2017

    […] artikel sebelumnya, kita sudah membuktikan rumus abc dengan melengkapkan bentuk kuadrat sempurna dari persamaan . Kali ini kita akan membuktikan rumus […]

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.