Matriks Ortogonal adalah matriks persegi yang inversnya sama dengan transpos. Baris-baris pada matriks ortogonal membentuk himpunan ortonormal. Dengan kata lain, baris-barisnya adalah vektor satuan, di mana hasil kali titik (dot product) antara dua baris berbeda adalah nol.

Sebelum membahas lebih lanjut, perhatikan Daftar Isi berikut.

Daftar Isi

Apa Itu Matriks Ortogonal?

Matriks persegi A disebut Matriks Ortogonal jika invers dari matriks A sama dengan transposnya. Dengan kata lain, hasil kali antara matriks A dengan transposnya adalah matriks identitas.

Definisi

Matriks $A$ disebut Matriks Ortogonal jika dan hanya jika$$A^{-1}=A^T$$Dengan kata lain$$AA^T=A^TA=I$$

Berdasarkan definisi, matriks ortogonal pasti invertible (punya invers) dan inversnya adalah transpos dari matriks tersebut.

Perhatikan dua matriks berikut.$$A=\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}, \quad B=\frac{1}{7} \begin{bmatrix}3&2&6\\-6&3&2\\2&6&-3\end{bmatrix}$$

Keduanya adalah contoh matriks ortogonal. Untuk menunjukkan hal ini, kita bisa menghitung hasil dari $A^TA$ dan $AA^T$. Begitupun dengan $B^TB$ dan $BB^T$.

$$AA^T = \begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix} \begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}=I$$$$A^TA = \begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix} \begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}=I$$

Ternyata hasil dari $A^TA$ dan $AA^T$ adalah matriks identitas. Jadi, $A$ adalah matriks ortogonal.

Dengan cara yang sama, kita bisa menunjukkan bahwa $B$ matriks ortogonal.

Bagaimana Memeriksa Matriks Ortogonal?

Pada bagian sebelumnya, kita memeriksa apakah $AA^T=I$ dan $A^TA=I$. Hal ini berdasarkan definisi matriks ortogonal.

Ternyata, kita hanya perlu memeriksa salah satunya. Mengapa? Perhatikan teorema berikut.

Teorema 1

Misalkan $X$ dan $Y$ adalah matriks persegi. Maka $XY=I$ jika dan hanya jika $YX=I$.

Jika $A^TA=I$ telah diperiksa, maka kita tidak perlu memeriksa $AA^T=I$. Karena berdasarkan Teorema 1, $A^TA=I$ berakibat $AA^T=I$.

Jadi, cukup diperiksa salah satunya.

Sifat-Sifat Matriks Ortogonal

Berikut adalah sifat-sifat matriks ortogonal.

Sifat 1

Vektor-vektor baris pada matriks ortogonal membentuk himpunan ortonormal dalam $\mathbb{R}^n$.

Bukti. Misalkan $A$ adalah matriks ortogonal $n \times n$. Misalkan pula $\textbf{r}_i$ menyatakan vektor baris ke-$i$ dari matriks A.

Akan dibuktikan bahwa $\{\textbf{r}_1,\textbf{r}_2,\ldots,\textbf{r}_n\}$ adalah himpunan ortonormal.

Untuk itu, perlu ditunjukkan bahwa$$\| \textbf{r}_i \|=1, \text{ untuk } i=1,2,\ldots,n$$dan$$\textbf{r}_i \cdot \textbf{r}_j = 0, \text{ jika } i \neq j$$

Transpos matriks mengubah baris menjadi kolom, sehingga kolom-kolom dari $A^T$ berisi vektor baris dari $A$, yaitu$$A^T=\begin{bmatrix}\textbf{r}_1&\textbf{r}_2&\cdots &\textbf{r}_n \end{bmatrix}$$

Perhatikan bahwa$$\begin{aligned}AA^T &= \begin{bmatrix} \textbf{r}_1\\ \textbf{r}_2 \\ \vdots \\ \textbf{r}_n \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\textbf{r}_1&\textbf{r}_2&\cdots &\textbf{r}_n \end{bmatrix} \\[30px]&= \begin{bmatrix} \textbf{r}_1 \cdot \textbf{r}_1&\textbf{r}_1 \cdot \textbf{r}_2&\cdots &\textbf{r}_1 \cdot \textbf{r}_n \\\textbf{r}_2 \cdot \textbf{r}_1&\textbf{r}_2 \cdot \textbf{r}_2&\cdots &\textbf{r}_2 \cdot \textbf{r}_n \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\textbf{r}_n \cdot \textbf{r}_1&\textbf{r}_n \cdot \textbf{r}_2&\cdots &\textbf{r}_n \cdot \textbf{r}_n \end{bmatrix}\end{aligned}$$

Karena $A$ matriks ortogonal, maka $AA^T=I$, sehingga$$\begin{bmatrix} \textbf{r}_1 \cdot \textbf{r}_1&\textbf{r}_1 \cdot \textbf{r}_2&\cdots &\textbf{r}_1 \cdot \textbf{r}_n \\\textbf{r}_2 \cdot \textbf{r}_1&\textbf{r}_2 \cdot \textbf{r}_2&\cdots &\textbf{r}_2 \cdot \textbf{r}_n \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\textbf{r}_n \cdot \textbf{r}_1&\textbf{r}_n \cdot \textbf{r}_2&\cdots &\textbf{r}_n \cdot \textbf{r}_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&0&\cdots &0 \\0&1&\cdots &0 \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\0&0&\cdots &1 \end{bmatrix}$$

Berdasarkan kesamaan dua matriks, diperoleh$$\textbf{r}_i \cdot \textbf{r}_i=1, \text{ untuk } i=1,2,\ldots,n \tag{1}$$dan$$\textbf{r}_i \cdot \textbf{r}_j = 0, \text{ jika } i \neq j \tag{2}$$

Dari persamaan (1), diperoleh$$\| \textbf{r}_i \| = (\textbf{r}_i \cdot \textbf{r}_i)^{1/2}=1^{1/2}=1 \tag{3}$$

Berdasarkan (2) dan (3), dapat disimpulkan bahwa $\{\textbf{r}_1,\textbf{r}_2,\ldots,\textbf{r}_n\}$ adalah himpunan ortonormal. Terbukti.

Sifat 2

Vektor-vektor kolom pada matriks ortogonal membentuk himpunan ortonormal dalam $\mathbb{R}^n$.

Bukti. Misalkan $A$ adalah matriks ortogonal $n \times n$. Misalkan pula $\textbf{c}_i$ menyatakan vektor kolom ke-$i$ dari matriks A.

Akan dibuktikan bahwa $\{\textbf{c}_1,\textbf{c}_2,\ldots,\textbf{c}_n\}$ adalah himpunan ortonormal.

Untuk itu, perlu ditunjukkan bahwa$$\| \textbf{c}_i \|=1, \text{ untuk } i=1,2,\ldots,n$$dan$$\textbf{c}_i \cdot \textbf{c}_j = 0, \text{ jika } i \neq j$$

Transpos matriks mengubah kolom menjadi baris, sehingga baris-baris dari $A^T$ berisi vektor kolom dari $A$, yaitu$$A^T=\begin{bmatrix}\textbf{c}_1 \\ \textbf{c}_2 \\ \vdots \\ \textbf{c}_n \end{bmatrix}$$

Perhatikan bahwa$$\begin{aligned}A^TA &= \begin{bmatrix}\textbf{c}_1 \\ \textbf{c}_2 \\ \vdots \\ \textbf{c}_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix}\textbf{c}_1&\textbf{c}_2&\cdots &\textbf{c}_n \end{bmatrix} \\[30px]&= \begin{bmatrix} \textbf{c}_1 \cdot \textbf{c}_1&\textbf{c}_1 \cdot \textbf{c}_2&\cdots &\textbf{c}_1 \cdot \textbf{c}_n \\\textbf{c}_2 \cdot \textbf{c}_1&\textbf{c}_2 \cdot \textbf{c}_2&\cdots &\textbf{c}_2 \cdot \textbf{c}_n \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\textbf{c}_n \cdot \textbf{c}_1&\textbf{c}_n \cdot \textbf{c}_2&\cdots &\textbf{c}_n \cdot \textbf{c}_n \end{bmatrix}\end{aligned}$$

Karena $A$ matriks ortogonal, maka $A^TA=I$, sehingga$$\begin{bmatrix} \textbf{c}_1 \cdot \textbf{c}_1&\textbf{c}_1 \cdot \textbf{c}_2&\cdots &\textbf{c}_1 \cdot \textbf{c}_n \\\textbf{c}_2 \cdot \textbf{c}_1&\textbf{c}_2 \cdot \textbf{c}_2&\cdots &\textbf{c}_2 \cdot \textbf{c}_n \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\textbf{c}_n \cdot \textbf{c}_1&\textbf{c}_n \cdot \textbf{c}_2&\cdots &\textbf{c}_n \cdot \textbf{c}_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&0&\cdots &0 \\0&1&\cdots &0 \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\0&0&\cdots &1 \end{bmatrix}$$

Berdasarkan kesamaan dua matriks, diperoleh$$\textbf{c}_i \cdot \textbf{c}_i=1, \text{ untuk } i=1,2,\ldots,n \tag{1}$$dan$$\textbf{c}_i \cdot \textbf{c}_j = 0, \text{ jika } i \neq j \tag{2}$$

Dari persamaan (1), diperoleh$$\| \textbf{c}_i \| = (\textbf{c}_i \cdot \textbf{c}_i)^{1/2}=1^{1/2}=1 \tag{3}$$

Berdasarkan (2) dan (3), dapat disimpulkan bahwa $\{\textbf{c}_1,\textbf{c}_2,\ldots,\textbf{c}_n\}$ adalah himpunan ortonormal. Terbukti.

Sifat 3

Jika $A$ adalah matriks ortogonal, maka $A^T$ juga matriks ortogonal.

Bukti. Misalkan $A$ adalah matriks ortogonal, sehingga $AA^T=I$. Akan dibuktikan bahwa $B=A^T$ matriks ortogonal.

Perhatikan bahwa$$\begin{aligned}B^TB &= (A^T)^TA^T \\&= AA^T \quad &&[(X^T)^T=X] \\&= I &&[A \text{ Matriks Ortogonal}]\end{aligned}$$

Diperoleh $B^TB=I$, sehingga $B=A^T$ adalah matriks ortogonal. Terbukti.

Sifat 4

Jika $A$ adalah matriks ortogonal, maka $A^{-1}$ juga matriks ortogonal.

Bukti. Misalkan $A$ adalah matriks ortogonal, sehingga $AA^T=I$. Akan dibuktikan bahwa $C=A^{-1}$ matriks ortogonal.

Perhatikan bahwa$$\begin{aligned}C^TC &= (A^{-1})^T A^{-1} \\&= (A^T)^{-1}A^{-1} \quad &&[(X^{-1})^T=(X^T)^{-1}] \\&= (AA^T)^{-1} &&[Y^{-1}X^{-1}=(XY)^{-1}] \\&= I^{-1} &&[A \text{ Matriks Ortogonal}] \\&= I\end{aligned}$$

Diperoleh $C^TC=I$, sehingga $C=A^{-1}$ adalah matriks ortogonal. Terbukti.

Sifat 5

Jika $A$ dan B adalah matriks ortogonal $n \times n$, maka $AB$ juga matriks ortogonal.

Bukti. Misalkan $A$ dan $B$ adalah matriks ortogonal, sehingga $A^TA=I$ dan $B^TB=I$. Akan dibuktikan bahwa $C=AB$ matriks ortogonal.

Perhatikan bahwa$$\begin{aligned}C^TC &= (AB)^T(AB) \\&= (B^TA^T)(AB) \quad &&[(XY)^T=Y^TX^T] \\&= B^T(A^TA)B &&[\text{Sifat Asosiatif}] \\&= B^TIB &&[A \text{ Matriks Ortogonal}] \\&= B^TB &&[I \text{ Matriks Identitas}] \\&= I &&[B \text{ Matriks Ortogonal}]\end{aligned}$$

Diperoleh $C^TC=I$, sehingga $C=AB$ adalah matriks ortogonal. Terbukti.

Sifat 6

Jika $A$ adalah matriks ortogonal, maka $\text{det}(A)=\pm 1$.

Bukti. Misalkan $A$ adalah matriks ortogonal, sehingga $A^TA=I$. Akan dibuktikan bahwa $\text{det}(A)=\pm 1$.

Determinan dari matriks identitas adalah 1, sehingga$$\begin{aligned}1 &= \text{det}(I) \\&= \text{det}(A^TA) &&[A \text{ Matriks Ortogonal}] \\&= \text{det}(A^T) \cdot \text{det}A \quad &&[\text{det}(XY)=\text{det}X \cdot \text{det}(Y)] \\&= \text{det}(A) \cdot \text{det}(A) &&[\text{det}(X^T)=\text{det}(X)] \\&= [\text{det}(A)]^2\end{aligned}$$

Diperoleh $[\text{det}(A)]^2=1$, sehingga $\text{det}(A)=\pm 1$. Terbukti.

Sifat 7

Jika $A$ adalah matriks ortogonal $n \times n$, maka untuk setiap $\textbf{\textit{x}},\textbf{\textit{y}} \in \mathbb{R}^n$ berlaku$$A \textbf{\textit{x}} \cdot A \textbf{\textit{y}} = \textbf{\textit{x}} \cdot \textbf{\textit{y}}$$

Bukti. Misalkan $A$ adalah matriks ortogonal $n \times n$, dan $\textbf{\textit{x}},\textbf{\textit{y}} \in \mathbb{R}^n$. Akan dibuktikan bahwa $A \textbf{\textit{x}} \cdot A \textbf{\textit{y}} = \textbf{\textit{x}} \cdot \textbf{\textit{y}}$.

Perhatikan bahwa$$\begin{aligned}A \textbf{\textit{x}} \cdot A \textbf{\textit{y}} &= A^T(A \textbf{\textit{x}}) \cdot \textbf{\textit{y}} \quad &&[\textbf{\textit{u}} \cdot M\textbf{\textit{v}}=M^T\textbf{\textit{u}} \cdot \textbf{\textit{v}}, \enspace \forall \textbf{\textit{u}},\textbf{\textit{v}} \text{ matriks kolom}]\\&= (A^TA) \textbf{\textit{x}} \cdot \textbf{\textit{y}} &&[\text{Sifat Asosiatif pada Perkalian Matriks}]\\&= I \textbf{\textit{x}} \cdot \textbf{\textit{y}} &&[A \text{ Matriks Ortogonal}]\\&= \textbf{\textit{x}} \cdot \textbf{\textit{y}} &&[I \text{ Matriks Identitas}]\end{aligned}$$

Terbukti.

Sifat 8

Jika $A$ adalah matriks ortogonal $n \times n$, maka untuk setiap $\textbf{\textit{x}} \in \mathbb{R}^n$ berlaku$$\| A \textbf{\textit{x}} \| = \| \textbf{\textit{x}} \|$$

Bukti. Misalkan $A$ adalah matriks ortogonal $n \times n$, dan $\textbf{\textit{x}} \in \mathbb{R}^n$. Akan dibuktikan bahwa $\| A \textbf{\textit{x}} \| = \| \textbf{\textit{x}} \|$.

Perhatikan bahwa$$\begin{aligned}\| A \textbf{\textit{x}} \| &= (A\textbf{\textit{x}} \cdot A\textbf{\textit{x}})^{1/2} &&[\text{Definisi Norm Vektor}]\\&= (\textbf{\textit{x}} \cdot \textbf{\textit{x}})^{1/2} &&[\text{Sifat 7}]\\&= \| \textbf{\textit{x}} \| &&[\text{Definisi Norm Vektor}]\end{aligned}$$

Terbukti.

Sifat 9

Jika $A$ adalah matriks ortogonal, dengan nilai eigen $\lambda$, maka $|\lambda|=1$.

Bukti. Misalkan $A$ adalah matriks ortogonal, sehingga $A^TA=I$. Misalkan pula $\lambda$ adalah nilai eigen $A$ yang bersesuaian dengan vektor eigen $\textbf{\textit{x}}$, sehingga $A\textbf{\textit{x}}=\lambda\textbf{\textit{x}}$.

Akan dibuktikan $|\lambda |= 1$. Perhatikan bahwa$$\begin{aligned}\| A\textbf{\textit{x}} \|^2 &= \| \lambda \textbf{\textit{x}} \|^2 &&[A\textbf{\textit{x}}=\lambda\textbf{\textit{x}}]\\&= (|\lambda | \| \textbf{\textit{x}} \|)^2 \quad &&[\text{Jika } k \text{ skalar, maka } \| k\textbf{\textit{v}}\|=|k| \| \textbf{\textit{v}} \|] \\&= |\lambda |^2 \| \textbf{\textit{x}} \|^2\end{aligned}$$

Di sisi lain, berdasarkan Sifat 8, diperoleh$$\| A\textbf{\textit{x}} \|^2 = \| \textbf{\textit{x}} \|^2$$

Akibatnya$$|\lambda |^2 \| \textbf{\textit{x}} \|^2 = \| \textbf{\textit{x}} \|^2$$

Karena $\textbf{\textit{x}}$ vektor eigen, maka $\textbf{\textit{x}} \neq \textbf{0}$, sehingga $\| \textbf{\textit{x}} \|^2 \neq 0$. Akibatnya$$|\lambda |^2 \| \textbf{\textit{x}} \|^2 = 1\| \textbf{\textit{x}} \|^2 \quad \implies |\lambda |^2=1$$Terbukti.

Soal dan Pembahasan Matriks Ortogonal

Berikutnya, kita akan membahas soal-soal terkait matriks ortogonal.

Nomor 1

Periksa apakah matriks berikut ortogonal.$$\begin{aligned}A=\frac{1}{3} \begin{bmatrix}-1&2&2 \\ 2&-1&2 \\ 2&2&-1\end{bmatrix}\end{aligned}$$

Perlu diperiksa apakah $A^TA=I$. Perhatikan bahwa$$\begin{aligned}A^TA &= \frac{1}{3} \begin{bmatrix}-1&2&2 \\ 2&-1&2 \\ 2&2&-1\end{bmatrix} \frac{1}{3} \begin{bmatrix}-1&2&2 \\ 2&-1&2 \\ 2&2&-1\end{bmatrix} \\[15pt]&= \frac{1}{9} \begin{bmatrix}9&0&0 \\ 0&9&0 \\ 0&0&9\end{bmatrix} \\[15pt]&= \begin{bmatrix}1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1\end{bmatrix} \\[15pt]&= I\end{aligned}$$

Dengan demikian, $A$ adalah matriks ortogonal.

Nomor 2

Periksa apakah matriks berikut ortogonal.$$\begin{aligned}B= \begin{bmatrix}\cos x&-\sin x \\ \sin x&\cos x\end{bmatrix}\end{aligned}$$

Perlu diperiksa apakah $B^TB=I$. Perhatikan bahwa$$\begin{aligned}B^TB &= \begin{bmatrix}\cos x&\sin x \\ -\sin x&\cos x\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\cos x&-\sin x \\ \sin x&\cos x\end{bmatrix} \\[10pt]&= \begin{bmatrix} \cos^2 x+\sin^2 x & 0\\ 0&\sin^2 x+\cos^2 x \end{bmatrix} \\[10pt]&= \begin{bmatrix} 1&0\\0&1 \end{bmatrix}\end{aligned}$$

Dengan demikian, $B$ adalah matriks ortogonal.

Nomor 3

Kondisi apa yang harus dipenuhi oleh $a$ dan $b$, sehingga matriks berikut ortogonal?$$C=\begin{bmatrix} a+b&b-a\\a-b&b+a \end{bmatrix}$$

Agar matriks $C$ ortogonal, haruslah $C^TC=I$.$$\begin{aligned}C^TC &= \begin{bmatrix} a+b&a-b\\b-a&b+a \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a+b&b-a\\a-b&b+a \end{bmatrix} \\[10pt]&= \begin{bmatrix} (a+b)^2+(a-b)^2&(a+b)(b-a)+(a-b)(b+a)\\(b-a)(a+b)+(b+a)(a-b)&(b-a)^2+(b+a)^2 \end{bmatrix} \\[10pt]&= \begin{bmatrix} (a^2+b^2+2ab)+(a^2+b^2-2ab)&[(a-b)(b+a)](-1+1) \\ [(b+a)(a-b)](-1+1)&(a^2+b^2-2ab)+(a^2+b^2+2ab) \end{bmatrix} \\[10pt]&= \begin{bmatrix} 2a^2+2b^2&0\\0&2a^2+2b^2 \end{bmatrix}\end{aligned}$$

Agar $C^TC=I$, haruslah$$2a^2+2b^2=1$$

Jadi, kondisi yang harus dipenuhi agar $C$ ortogonal adalah $2a^2+2b^2=1$.

Nomor 4

Misalkan $S \subset M_{n\times n}(\mathbb{R})$ adalah himpunan matriks-matriks diagonal yang ortogonal. Tentukan $|S|$.

Misalkan $A \in S$, dengan$$A=\begin{bmatrix} a_1&0&\cdots &0 \\0&a_2&\cdots &0 \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\0&0&\cdots &a_n \end{bmatrix}$$untuk suatu bilangan real $a_1,a_2,\ldots,a_n$.

Misalkan $\textbf{r}_1,\textbf{r}_2,\ldots,\textbf{r}_n$ adalah vektor-vektor baris dari A. Berdasarkan Sifat 1, $\{\textbf{r}_1,\textbf{r}_2,\ldots,\textbf{r}_n \}$ adalah himpunan ortonormal. Akibatnya$$\| \textbf{r}_i \|=1, \quad \text{untuk } i=1,2,\ldots,n$$

Satu-satunya entri tak nol pada $\textbf{r}_i$ adalah $a_i$, sehingga$$\| \textbf{r}_i \|= \sqrt{a_i^2}=|a_i|$$

Akibatnya $|a_i|=1$, sehingga $a_i=\pm 1$.

Ada 2 pilihan untuk nilai $a_1$. Begitupun dengan $a_2,a_3,\ldots,a_n$. Berdasarkan aturan perkalian, banyak kombinasi yang mungkin adalah$$\underbrace{2\cdot2\cdot \ldots \cdot 2}_{\text{sebanyak } n}=2^n$$

Dengan demikian, ada $2^n$ matriks diagonal yang sekaligus ortogonal, sehingga $|S|=2^n$.