Dalam tulisan ini, kita akan mengulas mengenai KPK dan FPB, mulai dari definisi, cara menghitung, sampai dengan contoh soal. Sebelum masuk pada pembahasan, mari perhatikan daftar isi berikut.

Daftar Isi

Faktor Persekutuan Terbesar

Apa Itu FPB?

FPB dari bilangan bulat a dan b adalah bilangan asli terbesar yang habis membagi keduanya. Hal ini sesuai dengan kepanjangan dari FPB, yaitu Faktor Persekutuan Terbesar.

Setiap bilangan bulat mempunyai faktor. Misalkan $x$ dan $y$ adalah bilangan bulat, dengan $y \neq 0$. Bilangan $y$ disebut faktor dari $x$, jika dan hanya jika $x$ habis dibagi $y$. Dengan kata lain, terdapat bilangan bulat $z$ sedemikian sehingga $x=yz$.

Sebagai contoh, $-2$ dan $3$ adalah faktor dari $6$. Namun, $3$ bukan faktor dari $7$. Karena $7$ bersisa $1$ jika dibagi $3$ ($7$ tidak habis dibagi $3$).

Dalam konteks FPB, faktor-faktor negatif diabaikan. Ini dikarenakan, faktor negatif tidak mungkin jadi yang terbesar.

Bilangan bulat $12$ dan $18$ memiliki sejumlah faktor. Jika $X$ menyatakan himpunan faktor dari $12$ dan $Y$ himpunan faktor dari $18$, maka$$\begin{aligned}X &= \{ 1,2,3,4,6,12 \} \\Y &= \{ 1,2,3,6,9,18 \}\end{aligned}$$

Ternyata, $12$ dan $18$ memiliki sejumlah faktor yang sama, yaitu $1$, $2$, $3$, dan $6$. Nah, bilangan-bilangan ini disebut Faktor Persekutuan dari $12$ dan $18$. Dalam bentuk himpunan,$$X \cap Y = \{ 1,2,3,6 \}$$

Di antara faktor-faktor persekutuan ini, ada sebuah faktor dengan nilai terbesar, yaitu $6$. Nah, $6$ ini disebut Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dari $12$ dan $18$. Dengan kata lain, FPB adalah anggota $X \cap Y$ dengan nilai terbesar.

FPB dari $a$ dan $b$ dinotasikan sebagai $\text{fpb}(a,b)$ atau $(a,b)$. Dalam tulisan ini, kita menggunakan notasi kedua. Perlu diingat bahwa penulisan $(a,b)$ sama saja dengan $(b,a)$. Jadi, tidak perlu terpaku pada urutan tertentu.

Definisi FPB

FPB dari bilangan bulat $a$ dan $b$ adalah bilangan asli terbesar yang habis membagi $a$ dan $b$.

Jika $a$ dan $b$ adalah $0$, maka $(a,b)$ tidak ada. Karena setiap bilangan asli membagi $0$, sedangkan bilangan asli terbesar itu tidak ada.

Namun, jika salah satunya saja yang bernilai $0$, maka $(a,0)=a$. Penjelasannya cukup sederhana. Faktor terbesar dari $a$ adalah dirinya sendiri. Di pihak lain, $a$ juga faktor dari $0$. Akibatnya, $a$ adalah faktor persekutuan terbesar dari $a$ dan $0$.

Ada banyak sifat terkait FPB. Berikut salah satu sifat yang penting untuk diketahui.

Sifat 1

Jika $a$ dan $b$ adalah bilangan bulat, yang tidak keduanya nol, maka$$(a,b)=(|a|,|b|)$$

Sifat 1 memungkinkan penggunaan Faktorisasi Prima dalam menghitung FPB.

Cara Menentukan FPB

Ada beberapa cara menentukan FPB. Salah satunya, dengan menggunakan faktorisasi prima..

Berdasarkan Teorema Fundamental Aritmatika, setiap bilangan asli lebih dari $1$ merupakan bilangan prima atau dapat ditulis sebagai hasil kali bilangan-bilangan prima.

Sebagai contoh, $5$ adalah bilangan prima. Di pihak lain, $6$ bukan bilangan prima, tetapi $6$ dapat ditulis sebagai hasil kali dua bilangan prima, yaitu $2 \cdot 3$.

Penulisan bilangan bulat $a$ sebagai hasil kali bilangan-bilangan prima disebut faktorisasi prima dari $a$.

Berikut adalah prosedur menentukan FPB dengan faktorisasi prima.

  1. Tuliskan faktorisasi prima dari setiap bilangan. Faktorisasi prima yang dimaksud adalah $x_1^{p_1}x_2^{p_2} \cdots x_n^{p_n}$, di mana $x_1,x_2,\ldots,x_n$ adalah bilangan prima berbeda dan $p_1,p_2,\ldots,p_n$ adalah bilangan asli.
  2. Tandai faktor-faktor prima yang sama. Untuk saat ini, abaikan pangkatnya.
  3. Untuk setiap faktor prima yang sama, bandingkan pangkatnya. Pilih faktor dengan pangkat yang lebih kecil.
  4. Kalikan faktor-faktor tersebut untuk memperoleh FPB.

Agar lebih mudah dimengerti, mari membahas beberapa contoh soal.

Contoh Perhitungan FPB

Contoh 1

FPB dari 36 dan 120 adalah ...

Pertama, tuliskan faktorisasi prima kedua bilangan ini.$$\begin{aligned}36 &= 2^2 \cdot 3^2 \\120 &= 2^3 \cdot 3 \cdot 5\end{aligned}$$

Lalu, tandai faktor-faktor prima yang sama., yaitu $2$ dan $3$.$$\begin{aligned}36 &= \textcolor{blue}{2}^2 \cdot \textcolor{green}{3}^2 \\120 &= \textcolor{blue}{2}^3 \cdot \textcolor{green}{3} \cdot 5\end{aligned}$$

Bandingkan pangkat dari $\textcolor{blue}{2}^2$ dan $\textcolor{blue}{2}^3$. Karena $2 < 3$, maka kita pilih $\textcolor{blue}{2}^2$.$$\begin{aligned}36 &= \textcolor{red}{2^2} \cdot \textcolor{green}{3}^2 \\120 &= 2^3 \cdot \textcolor{green}{3} \cdot 5\end{aligned}$$

Berikutnya, bandingkan pangkat dari $\textcolor{green}{3}^2$ dan $\textcolor{green}{3}$. Karena $1 < 2$, maka kita pilih $\textcolor{green}{3}$.$$\begin{aligned}36 &= \textcolor{red}{2^2} \cdot 3^2 \\120 &= 2^3 \cdot \textcolor{red}{3} \cdot 5\end{aligned}$$

Dengan demikian, FPB dari $36$ dan $120$ adalah $2^2 \cdot 3=12$.

Contoh 2

FPB dari 24 dan 36 adalah ...

Faktorisasi prima kedua bilangan ini adalah$$\begin{aligned}24 &= 2^3 \cdot 3 \\36 &= 2^2 \cdot 3^2\end{aligned}$$

Faktor prima yang sama adalah $2$ dan $3$. Kita pilih, yang memiliki pangkat lebih kecil, yaitu $2^2$ dan $3$. Jadi, FPB dari $24$ dan $36$ adalah $2^2 \cdot 3=12$.

Contoh 3

FPB dari 36 dan 42 adalah ...

Faktorisasi prima kedua bilangan ini adalah$$\begin{aligned}36 &= 2^2 \cdot 3^2 \\42 &= 2 \cdot 3 \cdot 7\end{aligned}$$

Faktor prima yang sama adalah $2$ dan $3$. Kita pilih, yang memiliki pangkat lebih kecil, yaitu $2$ dan $3$. Jadi, FPB dari $36$ dan $42$ adalah $2\cdot 3=6$.

Contoh 4

FPB dari 15, 45, dan 75 adalah ...

Faktorisasi prima ketiga bilangan ini adalah$$\begin{aligned}15 &= 3 \cdot 5 \\45 &= 3^2 \cdot 5 \\75 &= 3 \cdot 5^2\end{aligned}$$

Faktor prima yang sama adalah $3$ dan $5$. Kita pilih, yang memiliki pangkat lebih kecil, yaitu $3$ dan $5$. Jadi, FPB dari $15$, $45$, dan $75$ adalah $3\cdot 5=15$.

Contoh 5

FPB dari 28, 84, dan 96 adalah ...

Faktorisasi prima ketiga bilangan ini adalah$$\begin{aligned}28 &= 2^2 \cdot 7 \\84 &= 2^2 \cdot 3 \cdot 7 \\96 &= 2^5 \cdot 3\end{aligned}$$

Hanya ada satu faktor prima yang sama, yaitu $2$. Kita pilih, yang memiliki pangkat lebih kecil, yaitu $2^2$. Jadi, FPB dari $28$, $84$, dan $96$ adalah $2^2=4$.

Kelipatan Persekutuan Terkecil

Apa itu KPK?

KPK dari bilangan bulat a dan b adalah bilangan asli terkecil yang habis dibagi a dan b. Hal ini sesuai dengan kepanjangan dari KPK, yaitu Kelipatan Persekutuan Terkecil.

Istilah kelipatan berkaitan erat dengan faktor. Jika $x$ adalah faktor dari $y$, maka $y$ adalah kelipatan dari $x$.

Sebagai contoh, $-4$ dan $6$ adalah kelipatan dari $2$. Namun, $9$ bukan kelipatan dari $2$. Karena $2$ bukan faktor dari $9$.

Dalam konteks KPK, yang diperhatikan hanya kelipatan yang bernilai positif. Kelipatan negatif diabaikan, karena menyebabkan tidak adanya kelipatan terkecil. Kelipatan nol juga diabaikan. Mengapa?

Bilangan bulat $8$ dan $12$ memiliki tak berhingga kelipatan. Jika $X$ menyatakan himpunan kelipatan dari $8$ dan $Y$ himpunan kelipatan dari $12$, maka$$\begin{aligned}X &= \{ 8,16,24,32,40,48,\ldots \} \\Y &= \{ 12,24,36,48,60,\ldots \}\end{aligned}$$

Ternyata, $8$ dan $12$ memiliki kelipatan yang sama, yaitu $24$, $48$, dan seterusnya. Nah, bilangan-bilangan ini disebut Kelipatan Persekutuan dari $12$ dan $18$. Dalam bentuk himpunan,$$X \cap Y = \{ 24,48,\ldots \}$$

Di antara kelipatan persekutuan ini, ada sebuah kelipatan dengan nilai terkecil, yaitu $24$. Nah, $24$ ini disebut Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari $8$ dan $12$. Dengan kata lain, KPK adalah anggota $X \cap Y$ dengan nilai terkecil.

KPK dari $a$ dan $b$ dinotasikan sebagai $\text{kpk}(a,b)$ atau $[a,b]$. Dalam tulisan ini, kita menggunakan notasi kedua. Perlu diingat bahwa penulisan $[a,b]$ sama saja dengan $[b,a]$.

Definisi KPK

KPK dari bilangan bulat tak nol $a$ dan $b$ adalah bilangan asli terkecil yang habis dibagi $a$ dan $b$.

Sebagaimana FPB, Sifat berikut juga berlaku pada KPK.

Sifat 2

Jika $a$ dan $b$ adalah bilangan bulat tak nol, maka$$[a,b]=[|a|,|b|]$$

Cara Menentukan KPK

Ada beberapa cara menentukan KPK. Salah satunya, dengan memanfaatkan faktorisasi prima.

Berikut adalah prosedur menentukan KPK dengan faktorisasi prima.

  1. Tuliskan faktorisasi prima dari setiap bilangan. Faktorisasi prima yang dimaksud adalah $x_1^{p_1}x_2^{p_2} \cdots x_n^{p_n}$, di mana $x_1,x_2,\ldots,x_n$ adalah bilangan prima berbeda dan $p_1,p_2,\ldots,p_n$ adalah bilangan asli.
  2. Tandai faktor-faktor prima yang dimiliki oleh sedikitnya dua bilangan. Untuk saat ini, abaikan pangkatnya.
  3. Untuk setiap faktor prima yang sama, bandingkan pangkatnya. Pilih faktor dengan pangkat yang lebih besar.
  4. Perhatikan faktor-faktor yang hanya dimiliki oleh satu bilangan.
  5. Kalikan faktor-faktor tersebut untuk memperoleh KPK.

Agar lebih mudah dimengerti, mari membahas beberapa contoh soal.

Contoh Perhitungan KPK

Contoh 6

KPK dari 63 dan 75 adalah ...

Pertama, tuliskan faktorisasi prima kedua bilangan ini.$$\begin{aligned}63 &= 3^2 \cdot 7 \\75 &= 3 \cdot 5^2\end{aligned}$$

Lalu, tandai faktor-faktor prima yang sama.$$\begin{aligned}63 &= \textcolor{blue}{3}^2 \cdot 7 \\75 &= \textcolor{blue}{3} \cdot 5^2\end{aligned}$$

Ada satu faktor prima yang sama. Pilih faktor dengan pangkat yang lebih besar. Antara $3^2$ dan $3$, kita pilih $3^2$.

Selain itu, ada faktor yang hanya dimiliki oleh satu bilangan, yaitu $5$ dan $7^2$.

Kalikan faktor-faktor ini, sehingga diperoleh$$3^2 \cdot 5 \cdot 7^2 = 1575$$sebagai KPK dari $63$ dan $75$.

Contoh 7

KPK dari 18 dan 24 adalah ...

Faktorisasi prima kedua bilangan ini adalah$$\begin{aligned}18 &= 2 \cdot 3^2 \\24 &= 2^3 \cdot 3\end{aligned}$$

Faktor prima yang sama adalah $2$ dan $3$. Kita pilih, yang memiliki pangkat lebih besar, yaitu $2^3$ dan $3^2$. Selain itu, tidak ada faktor prima yang hanya dimiliki oleh satu bilangan. Jadi, KPK dari $18$ dan $24$ adalah $2^3\cdot 3^2=72$.

Contoh 8

KPK dari 54 dan 60 adalah ...

Faktorisasi prima kedua bilangan ini adalah$$\begin{aligned}54 &= 2 \cdot 3^3 \\60 &= 2^2 \cdot 3 \cdot 5\end{aligned}$$

Faktor prima yang sama adalah $2$ dan $3$. Kita pilih, yang memiliki pangkat lebih besar, yaitu $2^2$ dan $3^3$.

Selain itu, ada faktor yang hanya dimiliki oleh satu bilangan, yaitu $5$. Jadi, KPK dari $54$ dan $60$ adalah $2^2 \cdot 3^3 \cdot 5=540$.

Contoh 9

KPK dari 36, 40, dan 42 adalah ...

Faktorisasi prima kedua bilangan ini adalah$$\begin{aligned}36 &= 2^2 \cdot 3^2 \\40 &= 2^3 \cdot 5 \\42 &= 2 \cdot 3 \cdot 7\end{aligned}$$

Faktor prima yang sama adalah $2$ dan $3$. Kita pilih, yang memiliki pangkat lebih besar, yaitu $2^3$ dan $3^2$.

Selain itu, ada faktor yang hanya dimiliki oleh satu bilangan, yaitu $5$ dan $7$. Jadi, KPK dari $36$, $40$, dan $42$ adalah $2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7=2520$.

Contoh 10

KPK dari 60, 75, dan 125 adalah ...

Faktorisasi prima kedua bilangan ini adalah$$\begin{aligned}60 &= 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \\75 &= 3 \cdot 5^2 \\125 &= 5^3\end{aligned}$$

Faktor prima yang sama adalah $3$ dan $5$. Kita pilih, yang memiliki pangkat lebih besar, yaitu $3$ dan $5^3$.

Selain itu, ada faktor yang hanya dimiliki oleh satu bilangan, yaitu $2^2$. Jadi, KPK dari $60$, $75$, dan $125$ adalah $3 \cdot 5^3 \cdot 2^2=1500$.

Algoritma Euclid

Penggunaan faktorisasi prima untuk menghitung FPB seringkali tidak efisien. Terkadang faktorisasi prima dari suatu bilangan sulit untuk dicari. Cara yang lebih efisien adalah menggunakan Algoritma Euclid.

Ide dibalik Algoritma Euclid

Sebelum membahas mengenai Algoritma Euclid, mari membahas teorema yang mendasari algoritma ini.

Sifat 3

Misalkan $a$ dan $b$ adalah bilangan asli. Jika$$a=qb+r, \quad q,r \in \mathbb{Z} \text{ dan } 0 \leq r < b$$maka $(a,b)=(b,r)$.

Bukti. Misalkan $a$ dan $b$ adalah bilangan asli yang memenuhi$$a=qb+r, \quad q,r \in \mathbb{Z} \text{ dan } 0 \leq r < b$$

Misalkan pula $K$ adalah himpunan faktor persekutuan dari $b$ dan $r$ serta $M$ adalah himpunan faktor persekutuan dari $a$ dan $b$.

Untuk membuktikan $(a,b)=(b,r)$, cukup ditunjukkan bahwa $K=M$.

Pertama, perlu ditunjukkan $M \subseteq K$. Untuk itu, diambil sebarang $m \in M$. Artinya, $m$ adalah faktor dari $a$ dan $b$. Terdapat bilangan bulat $c_1$ dan $c_2$ sedemikian sehingga$$a=c_1m \quad \text{dan} \quad b=c_2m$$

Substitusi nilai $a$ dan $b$ pada $a=qb+r$, sehingga$$c_1m = q(c_2m)+r \quad \implies \quad r=m(c_1-qc_2)$$

Perhatikan bahwa $c_1-qc_2$ adalah bilangan bulat, sehingga $m$ adalah faktor dari $r$. Karena $m$ faktor dari $b$ dan $r$, maka $m \in K$. Dengan demikian, $M \subseteq K$.

Berikutnya, perlu ditunjukkan $K \subseteq M$. Untuk itu, diambil sebarang $k \in K$. Artinya, $k$ adalah faktor dari $b$ dan $r$. Terdapat bilangan bulat $d_1$ dan $d_2$ sedemikian sehingga$$b=d_1k \quad \text{dan} \quad r=d_2k$$

Substitusi nilai $b$ dan $r$ pada $a=qb+r$, sehingga$$a = q(d_1k)+d_2k \quad \implies \quad a=k(qd_1+d_2)$$

Perhatikan bahwa $qd_1+d_2$ adalah bilangan bulat, sehingga $k$ adalah faktor dari $a$. Karena $k$ faktor dari $a$ dan $b$, maka $k \in M$. Dengan demikian, $K \subseteq M$.

Berdasarkan $M \subseteq K$ dan $K \subseteq M$, dapat disimpulkan $K=M$. Akibatnya, $(a,b)=(b,r)$. Terbukti.

Sifat ini memudahkan perhitungan FPB. Sebagai contoh, untuk menentukan $(1028,36)$, kita bisa menghitung $(36,20)$, karena$$1028 = 28 \times 36 + 20$$

Menghitung $(36,20)$ tentu lebih mudah daripada menghitung $(1028,36)$.

Menghitung FPB dengan Algoritma Euclid

Algoritma Euclid adalah prosedur menghitung FPB dari dua bilangan, melalui penerapan Sifat 3 secara berulang-ulang. Agar lebih jelas, mari menghitung $(3481,3599)$.

Pilih bilangan yang lebih besar ($3599$), lalu bagi dengan bilangan yang lebih kecil ($3481$). Diperoleh hasil bagi $1$ dengan sisa $118$, artinya$$3599 = 1 \times 3481 + 118$$Berdasarkan Sifat 3, diperoleh$$(3599,3481)=(3481,118) \tag{1}$$

Lalu, bagi $3481$ dengan $118$. Diperoleh hasil bagi 29 dengan sisa 59, artinya$$3481 = 29 \times 118 + 59$$Berdasarkan Sifat 3, diperoleh$$(3481,118)=(118,59) \tag{2}$$

Berikutnya, bagi $118$ dengan $59$. Ternyata, 118 habis dibagi 59. Dengan kata lain,$$118 = 2 \times 59 + 0$$Akibatnya$$(118,59)=59 \tag{3}$$

Berdasarkan $(1)$, $(2)$, dan $(3)$ diperoleh$$(3599,3481) = (3481,118) = (118,59) = 59$$

Jadi, $(3599,3481)=59$. Nah, prosedur yang telah dilakukan disebut Algoritma Euclid.

Perhitungan di atas, bisa lebih ringkas jika ditulis sebagai$$\begin{aligned}3599 &= 1 \times \textcolor{blue}{3481} + \textcolor{green}{118} \\\textcolor{blue}{3481} &= 29 \times \textcolor{green}{118} + \textcolor{red}{59} \\\textcolor{green}{118} &= 2 \times \textcolor{red}{59} + 0\end{aligned}$$

Prosedur dihentikan setelah sisaan $0$ diperoleh. FPB dari $3599$ dan $3481$ adalah sisaan tak nol terakhir, yaitu $59$.

Algoritma Euclid

Misalkan $a$ dan $b$ adalah bilangan bulat positif. Jika$$\begin{aligned}a &= q_1b+r_1, \quad &&0 \leq r_1 < b \\b &= q_2r_1+r_2, &&0 \leq r_2 < r_1 \\r_1 &= q_3r_2+r_3, &&0 \leq r_3 < r_2 \\& \; \; \vdots \\r_{n-2} &= q_nr_{n-1}+r_n, \quad &&0 \leq r_n < r_{n-1} \\r_{n-1} &= q_{n+1}r_n+0\end{aligned}$$maka FPB dari $a$ dan $b$ adalah sisaan tak nol terakhir pada prosedur di atas, yaitu $r_n$.

Contoh Penggunaan Algoritma Euclid

Agar lebih paham, mari berlatih menentukan FPB menggunakan Algoritma Euclid.

Contoh 11

Tentukan FPB dari 24 dan 36 menggunakan Algoritma Euclid.

Perhatikan bahwa$$\begin{aligned}36 &= 1 \times \textcolor{blue}{24} + \textcolor{green}{12} \\\textcolor{blue}{24} &= 2 \times \textcolor{green}{12} + 0\end{aligned}$$

Berdasarkan Algoritma Euclid, FPB dari $24$ dan $36$ adalah sisaan tak nol terakhir, yaitu $12$.

Contoh 12

Tentukan FPB dari 72 dan 90 menggunakan Algoritma Euclid.

Perhatikan bahwa$$\begin{aligned}90 &= 1 \times \textcolor{blue}{72} + \textcolor{green}{18} \\\textcolor{blue}{72} &= 4 \times \textcolor{green}{18} + 0\end{aligned}$$

Berdasarkan Algoritma Euclid, FPB dari $72$ dan $90$ adalah sisaan tak nol terakhir, yaitu $18$.

Contoh 13

Tentukan FPB dari 36 dan 128 menggunakan Algoritma Euclid.

Perhatikan bahwa$$\begin{aligned}128 &= 3 \times \textcolor{blue}{36} + \textcolor{green}{20} \\\textcolor{blue}{36} &= 1 \times \textcolor{green}{20} + \textcolor{red}{16} \\\textcolor{green}{20} &= 1 \times \textcolor{red}{16} + \textcolor{brown}{4} \\\textcolor{red}{16} &= 4 \times \textcolor{brown}{4} + 0\end{aligned}$$

Berdasarkan Algoritma Euclid, FPB dari $36$ dan $128$ adalah sisaan tak nol terakhir, yaitu $4$.

Contoh 14

Tentukan FPB dari 3722 dan 926 menggunakan Algoritma Euclid.

Perhatikan bahwa$$\begin{aligned}3722 &= 4 \times \textcolor{blue}{926} + \textcolor{green}{18} \\\textcolor{blue}{926} &= 51 \times \textcolor{green}{18} + \textcolor{red}{8} \\\textcolor{green}{18} &= 2 \times \textcolor{red}{8} + \textcolor{brown}{2} \\\textcolor{red}{8} &= 4 \times \textcolor{brown}{2} + 0\end{aligned}$$

Berdasarkan Algoritma Euclid, FPB dari $3722$ dan $926$ adalah sisaan tak nol terakhir, yaitu $2$.

Hubungan Antara FPB dan KPK

Algoritma Euclid digunakan untuk menghitung FPB, bukan untuk KPK. Namun, ada sebuah sifat yang menyatakan hubungan antara FPB dan KPK dari dua bilangan. Dengan ini, FPB yang diperoleh melalui Algoritma Euclid, bisa digunakan untuk menghitung KPK.

Sifat 4

Jika $a$ dan $b$ adalah bilangan asli, maka$$(a,b) \cdot [a,b]=ab$$

Contoh 15

Tentukan KPK dari 24 dan 36 menggunakan Sifat 4.

Pada Contoh 11, telah ditunjukkan bahwa $(24,36)=12$. Berdasarkan Sifat 4, diperoleh$$\begin{aligned}[24,36] &= \frac{24 \cdot 36}{(24,36)} \\&= \frac{24 \cdot 36}{12} \\&= 2 \cdot 36 \\&= 72\end{aligned}$$

Jadi, KPK dari $24$ dan $36$ adalah $72$.

Contoh 16

Tentukan KPK dari 36 dan 128 menggunakan Sifat 4.

Pada Contoh 13, telah ditunjukkan bahwa $(36,128)=4$. Berdasarkan Sifat 4, diperoleh$$\begin{aligned}[36,128] &= \frac{36 \cdot 128}{(36,128)} \\&= \frac{36 \cdot 128}{4} \\&= 9 \cdot 128 \\&= 1152\end{aligned}$$

Jadi, KPK dari $36$ dan $128$ adalah $1152$.

FPB dan KPK dari Tiga Bilangan

Algoritma Euclid digunakan untuk menghitung FPB dari dua bilangan. Namun, ada sebuah sifat yang memungkinkan penggunaan Algoritma Euclid secara berulang, untuk menghitung FPB dari tiga bilangan atau lebih.

Sifat 5

Jika $a$ dan $b$ adalah bilangan asli, maka$$(a,b,c) = ((a,b),c)$$dan$$[a,b,c] = [[a,b],c]$$

Agar lebih paham, mari membahas contoh soal.

Contoh 17

Tentukan KPK dari 36, 126 dan 128 menggunakan Sifat 5.

Kita bebas memilih dua bilangan, misalnya $36$ dan $128$. Pada Contoh 13, telah ditunjukkan bahwa $(36,128)=4$. Berdasarkan Sifat 4, diperoleh$$(36,126,128)=((36,128),126)=(4,126)$$

Berikutnya, kita hitung $(4,126)$ menggunakan Algoritma Euclid. Perhatikan bahwa$$\begin{aligned}126 &= 31 \times \textcolor{blue}{4} + \textcolor{green}{2} \\\textcolor{blue}{4} &= 2 \times \textcolor{green}{2} + 0\end{aligned}$$

Diperoleh, $(4,126)=2$. Dengan demikian, $(36,126,128)=2$.

Contoh 18

Tentukan KPK dari 60, 75 dan 150 menggunakan Sifat 5.

Pilih dua bilangan, misalnya $60$ dan $75$. Perhatikan bahwa$$\begin{aligned}75 &= 1 \times \textcolor{blue}{60} + \textcolor{green}{15} \\\textcolor{blue}{60} &= 4 \times \textcolor{green}{15} + 0\end{aligned}$$

Diperoleh $(60,75)=15$. Berdasarkan Sifat 4, diperoleh$$\begin{aligned}[60,75] &= \frac{60 \cdot 75}{(60,75)} \\&= \frac{60 \cdot 75}{15} \\&= 60 \cdot 5 \\&= 300\end{aligned}$$

Berdasarkan Sifat 5, diperoleh$$[60,75,150]=[[60,75],150]=[300,150]$$

Perhatikan bahwa $300$ adalah kelipatan dari $150$, sehingga $[300,150]=300$. Dengan demikian, KPK dari $60$, $75$, dan $150$ adalah $300$.

Demikian bahasan mengenai FPB dan KPK. Jika ada bagian yang kurang dipahami atau dianggap keliru, anda bisa menyampaikan melalui komentar. Semoga bermanfaat!