Integral tak tentu dan anti turunan adalah dua hal berbeda, yang seringkali dianggap sama oleh banyak orang. Hal yang sama juga saya alami saat SMA dulu, saya baru tahu perbedaannya saat memasuki kuliah semester kedua, dalam mata kuliah Kalkulus 2.
Misalkan f(x) adalah fungsi yang terintegralkan. Fungsi F disebut anti turunan f pada interval I, jika turunan fungsi F adalah fungsi f, ditulis $F'(x) = f(x)$ untuk setiap $x \in I$.
Contoh
- $F(x) = x^2 + 2x + 1$ adalah anti turunan $f(x) = 2x+2$, karena$D_x (x^2 + 2x + 1) = 2x+2$.
- $F(x) = x^2 + 2x - 5$ adalah anti turunan $f(x) = 2x+2$, karena$D_x (x^2 + 2x + 5) = 2x+2$.
- $F(x) = x^2 + 2x$ adalah anti turunan $f(x) = 2x+2$, karena$D_x (x^2 + 2x) = 2x+2$.
Perhatikan kembali contoh di atas. Ternyata fungsi $F(x)=2x+2$ mempunyai beberapa anti turunan, bahkan jumlahnya tidak berhingga. Nah, himpunan anti turunan fungsi $f$ ini disebut integral tak tentu fungsi $f$.
Integral tak tentu fungsi $f$ adalah $F(x)=x^2+2x+C$ dengan $C \in \mathbb{R}$.
Jadi, integral tak tentu suatu fungsi adalah bentuk umum dari anti turunan fungsi tersebut. Sedangkan anti turunannya adalah bentuk tunggal yang diperoleh dengan mengganti konstanta pada integral tak tentu dengan suatu bilangan real.
Fungsi $F(x) = x^3 + x^2 + C$ adalah integral tak tentu dari $f(x) = 3x^2 + 2x + 3$. Jika konstanta C tersebut diganti dengan sebarang bilangan real, maka diperoleh anti turunan fungsi $f$. Jadi, $F_1 (x) = x^3 + x^2$ dan $F_2 (x) = x^3 + x^2 + 7$ adalah contoh anti turunan $f(x) = 3x^2 + 2x + 3$.
Ditinjau dari segi grafik, jika kita mengetahui sebuah anti turunan $f(x)$, maka integral tak tentu dari $f(x)$ adalah keluarga fungsi yang grafiknya merupakan pergeseran ke atas atau ke bawah dari grafik anti turunan tersebut.
Semua anggota keluarga fungsi tersebut mempunyai turunan yang sama, yaitu $f(x)$. Dan setiap anggota tersebut adalah anti-turunan $f(x)$.