Bentuk Eselon Baris dan Eliminasi Gauss

Dalam tulisan ini, kita akan belajar mengenai matriks dalam Bentuk Eselon Baris dan Eliminasi Gauss. Bentuk eselon baris memiliki banyak kegunaan, misalnya dalam menentukan solusi sistem persamaan linear dan menentukan rank matriks. Untuk mengubah suatu matriks ke dalam bentuk eselon baris, kita menggunakan serangkaian Operasi Baris Elementer. Prosedur untuk mengubah matriks ke dalam bentuk eselon baris dinamakan Eliminasi Gauss.

Catatan

Bentuk Eselon Baris

Untuk memudahkan, kita akan memeriksa keberlakuan ketiga syarat di atas secara berurutan. Sebenarnya, kita dapat memeriksa dengan urutan apapun, asal kita lebih dulu memeriksa syarat 1 dibandingkan syarat 3. Tahu alasannya? Silakan dipikirkan.

Syarat 1: Entri tak nol pertama pada suatu baris tak nol adalah $1$.

Coba perhatikan matriks berordo $3 \times 3$ berikut$$A_1=\begin{bmatrix}0&1&3\\2&0&-1\\0&0&0\end{bmatrix}, \:A_2=\begin{bmatrix}1&3&-2\\0&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}$$Matriks manakah yang memenuhi syarat 1?

Matriks $A_1$ memiliki dua baris tak nol, yaitu baris pertama dan baris kedua. Kita perlu memeriksa apakah entri tak nol pertama pada kedua baris ini adalah 1.

Kita perhatikan entri-entri pada baris pertama, mulai dari entri paling kiri. Entri tak nol pertama yang kita jumpai adalah 1. Dengan cara yang sama, kita periksa baris kedua. Entri tak nol pertama pada baris kedua adalah 2.

Pada matriks $A_1$, terdapat baris tak nol yang entri tak nol pertamanya bukan 1, yaitu baris kedua. Dengan demikian, matriks $A$ tidak memenuhi syarat 1. Kita tidak perlu melanjutkan pada syarat berikutnya. Jika suatu matriks tidak memenuhi satu syarat, maka matriks tersebut bukan dalam bentuk eselon baris.

Berikutnya adalah matriks $A_2$. Matriks ini memiliki dua baris tak nol, yaitu baris pertama dan baris ketiga. Entri tak nol pertama pada baris pertama adalah 1. Begitupun pada baris ketiga. Dengan demikian, matriks $A_2$ memenuhi syarat 1.

Namun, bagaimana dengan matriks nol, yang seluruh entri-entrinya nol? Jawabannya adalah, matriks nol memenuhi syarat 1. Tahu alasannya?

Syarat 2: Jika terdapat baris nol, maka baris-baris tersebut dikelompokkan pada bagian bawah matriks.

Dalam syarat di atas dinyatakan bahwa baris-baris nol harus dikelompokkan pada bagian bawah matriks. Namun, bagaimana jika suatu matriks tidak memiliki baris nol? Kita akan menjawab pertanyaan ini menggunakan Logika Matematika.

Pernyataan dalam Syarat 2 berbentuk implikasi. Suatu matriks dikatakan memenuhi syarat 2, jika pernyataan implikasi tersebut bernilai benar. Misalkan $p$ adalah pernyataan "terdapat baris nol" dan $q$ adalah pernyataan "baris-baris tersebut dikelompokkan pada bagian bawah matriks". Jadi, syarat 2 dapat dinyatakan sebagai $p \Rightarrow q$.

Kita ingin tahu, bagaimana jika suatu matriks tidak memiliki baris nol. Jika hal ini terjadi, maka pernyataan $p$ tentu bernilai salah. Pada pernyataan implikasi, jika $p$ bernilai salah, maka $p \Rightarrow q$ pasti bernilai benar, terlepas dari nilai kebenaran $q$. Dengan demikian, matriks tersebut memenuhi syarat 2.

Yang jadi pertanyaan, kapan suatu matriks dikatakan tidak memenuhi syarat 2? Satu-satunya kondisi sehingga pernyataan $p \Rightarrow q$ bernilai salah adalah jika $p$ bernilai benar, tetapi $q$ bernilai salah. Dengan kata lain, suatu matriks tidak memenuhi syarat 2, jika matriks tersebut memiliki baris nol, tetapi baris-baris nol tersebut tidak dikelompokkan pada bagian bawah matriks.

Perhatikan matriks-matriks berikut.$$B_1=\begin{bmatrix}1&3&-1\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}, \:B_2=\begin{bmatrix}0&0&0\\1&4&3\\0&0&0\end{bmatrix}$$$$B_3=\begin{bmatrix}1&-2&3\\0&0&1\\0&0&0\end{bmatrix}, \:B_4=\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}$$Manakah di antara matriks di atas yang memenuhi syarat 2?

Jika suatu matriks memiliki baris nol, maka kita perlu memeriksa apakah baris-baris nol tersebut dikelompokkan pada bagian bawah matriks. Jika hanya ada satu baris nol, maka baris nol tersebut harus menempati baris terakhir matriks. Jika ada dua baris nol, maka keduanya harus menempati dua baris terakhir matriks. Dan seterusnya.

Matriks $B_1$ memenuhi syarat 2, karena terdapat dua baris nol dan keduanya menempati dua baris terakhir matriks. Matriks $B_2$ tidak memenuhi syarat 2, karena terdapat dua baris nol tetapi salah satu baris nol tidak menempati dua baris terakhir matriks. Dengan kata lain, terdapat baris nol yang terpisah dari kelompoknya, yaitu baris pertama matriks $B_2$. Nah, bagaimana dengan matriks $B_3$ dan $B_4$? Saya persilakan pembaca untuk menjawab.

Syarat 3: Jika dua baris tak nol berurutan, maka satu utama dari baris yang berada di bawah terletak pada kolom lebih kanan dibandingkan satu utama baris di atasnya.

Kita perlu memeriksa keberlakuan syarat ini, hanya pada matriks yang telah memenuhi syarat 1. Karena syarat ini berkaitan dengan keberadaan satu utama.

Perhatikan matriks-matriks berikut.$$C_1=\begin{bmatrix}0&0&0\\0&1&-1\\0&0&0\end{bmatrix} ,\:C_2=\begin{bmatrix}0&0&0\\1&4&-3\\0&0&1\end{bmatrix}$$$$C_3=\begin{bmatrix}0&1&-2\\0&0&0\\0&1&0\end{bmatrix}, \:B_4=\begin{bmatrix}1&-2&3\\0&0&1\\0&1&4\end{bmatrix}$$Manakah di antara matriks di atas yang memenuhi syarat 3?

Matriks nol dan matriks yang hanya memiliki satu baris tak nol (dengan satu utama), pasti memenuhi syarat 3. Dengan demikian, matriks $C_1$ memenuhi syarat 3.

Pada matriks $C_2$, terdapat dua baris tak nol, yaitu baris kedua dan baris ketiga. Satu utama pada baris ketiga terletak pada kolom lebih kanan dibandingkan satu utama pada baris kedua. Dengan demikian, matriks $C_2$ memenuhi syarat 3.

Pada matriks $C_3$, terdapat dua baris tak nol, yaitu baris pertama dan baris ketiga. Baris ketiga tentu terletak di bawah baris pertama. Namun satu utama baris ketiga terletak pada kolom yang sama dengan satu utama baris pertama. Artinya, matriks $C_3$ tidak memenuhi syarat 3.

Matriks $C_4$ memiliki tiga baris tak nol. Satu utama baris kedua dan ketiga terletak lebih di kanan dibandingkan satu utama baris pertama. Namun, satu utama baris ketiga terletak pada kolom lebih kiri dibandingkan satu utama baris kedua. Dengan demikian, matriks $C_4$ tidak memenuhi syarat 3.

Contoh Matriks dalam Bentuk Eselon Baris

Suatu matriks dikatakan berada dalam bentuk eselon baris, jika memenuhi ketiga syarat di atas. Jika suatu matriks tidak memenuhi salah satu syarat, maka kita tidak perlu melanjutkan pemeriksaan pada syarat berikutnya. Berikut adalah beberapa contoh matriks dalam bentuk eselon baris.$$D_1=\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix} ,\:D_2=\begin{bmatrix}0&1&-3\\0&0&0\end{bmatrix}$$$$D_3=\begin{bmatrix}1&1&-4\\0&0&1\\0&0&0\end{bmatrix}, \:D_4=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&-3\\0&0&1\end{bmatrix}$$

Eliminasi Gauss

Eliminasi Gauss adalah sebuah prosedur untuk mengubah suatu matriks ke dalam bentuk eselon baris. Prosedur ini melibatkan operasi baris elementer, sehingga pembaca diharapkan telah memahami materi tersebut sebelum melanjutkan. Berikut adalah prosedur dalam Eliminasi Gauss.

• Temukan kolom paling kiri yang tidak seluruhnya bernilai nol.
• Jika diperlukan, lakukan penukaran baris agar entri paling atas pada kolom tersebut tidak bernilai nol.
• Jika entri paling atas pada kolom tersebut adalah $a$, maka kalikan baris tersebut dengan $\frac{1}{a}$ untuk memunculkan satu utama.
• Tambahkan kelipatan baris pertama pada baris-baris di bawahnya, sehingga entri-entri di bawah satu utama seluruhnya bernilai nol.
• Periksa apakah matriks tersebut telah dalam bentuk eselon baris? Jika belum, maka abaikan/tutupi baris pertama matriks, lalu ulangi langkah 1 pada submatriks yang tersisa. Prosedur ini dihentikan setelah matriks berada dalam bentuk eselon baris.

Agar lebih mudah dipahami, kita akan membahas beberapa contoh soal.

Contoh 1

Kita akan mengubah matriks berikut ke dalam bentuk eselon baris.$$\begin{bmatrix}2&4&0\\0&0&0\\3&4&2\end{bmatrix}$$

Langkah 1

Kolom pertama adalah kolom paling kiri yang tidak seluruhnya bernilai nol.

Langkah 2

Entri paling atas pada kolom tersebut adalah $2$ (bukan nol), sehingga kita tidak perlu melakukan penukaran baris.

Langkah 3

Kalikan baris pertama dengan $\frac{1}{2}$, agar baris pertama mempunyai satu utama.$$\begin{bmatrix}1&2&0\\0&0&0\\3&4&2\end{bmatrix}$$

Langkah 4

Terdapat entri tak nol di bawah satu utama, yaitu pada baris ketiga. Agar entri tersebut menjadi nol, kita perlu menambahkan $-3$ kali baris pertama pada baris ketiga.$$\begin{bmatrix}1&2&0\\0&0&0\\0&-2&2\end{bmatrix}$$Seluruh entri di bawah satu utama sudah bernilai nol. Berikutnya, kita periksa, apakah matriks ini telah dalam bentuk eselon baris? Ternyata belum, sebab baris ketiga adalah baris tak nol, namun tidak mempunyai satu utama.

Berarti, prosedur Eliminasi Gauss belum selesai. Berikutnya, abaikan baris pertama dan ulangi langkah 1 pada submatriks yang tersisa. Agar lebih mudah dipahami, baris yang diabaikan ditulis dengan warna merah.$$\begin{bmatrix}\textcolor{red}{1}&\textcolor{red}{2}&\textcolor{red}{0}\\0&0&0\\0&-2&2\end{bmatrix}$$

Ulangi Langkah 1

Kolom kedua pada submatriks adalah kolom paling kiri yang tidak seluruhnya bernilai nol.

Ulangi Langkah 2

Entri paling atas pada kolom tersebut adalah $0$, sehingga kita perlu melakukan penukaran baris. Kita tukar baris pertama submatriks dengan baris kedua, agar entri paling atas pada kolom tersebut bukan nol.$$\begin{bmatrix}\textcolor{red}{1}&\textcolor{red}{2}&\textcolor{red}{0}\\0&-2&2\\0&0&0\end{bmatrix}$$

Ulangi Langkah 3

Kalikan baris pertama submatriks dengan $\frac{1}{-2}$, agar baris tersebut mempunyai satu utama.$$\begin{bmatrix}\textcolor{red}{1}&\textcolor{red}{2}&\textcolor{red}{0}\\0&1&-1\\0&0&0\end{bmatrix}$$

Ulangi Langkah 4

Seluruh entri di bawah satu utama sudah bernilai nol. Berikutnya, kita periksa, apakah matriks ini telah dalam bentuk eselon baris? Ya. Berarti prosedur Eliminasi Gauss telah selesai.

Contoh 2

Kita akan mengubah matriks berikut ke dalam bentuk eselon baris.$$\begin{bmatrix}1&3&-2&0&2&0&0\\2&6&-5&-2&4&-3&-1\\0&0&5&10&0&15&5\\2&6&0&8&4&18&6\end{bmatrix}$$

Langkah 1

Kolom pertama adalah kolom paling kiri yang tidak seluruhnya bernilai nol.

Langkah 2

Entri paling atas pada kolom tersebut adalah $1$ (bukan nol), sehingga kita tidak perlu melakukan penukaran baris.

Langkah 3

Baris pertama matriks telah mempunyai satu utama.

Langkah 4

Terdapat entri tak nol di bawah satu utama, yaitu pada baris kedua dan keempat. Kita perlu menambahkan $-2$ kali baris pertama pada baris kedua, begitupun dengan baris keempat.$$\begin{bmatrix}1&3&-2&0&2&0&0\\0&0&-1&-2&0&-3&-1\\0&0&5&10&0&15&5\\0&0&4&8&0&18&6\end{bmatrix}$$Seluruh entri di bawah satu utama sudah bernilai nol. Berikutnya, kita periksa, apakah matriks ini telah dalam bentuk eselon baris? Ternyata belum, sebab baris kedua adalah baris tak nol, namun tidak mempunyai satu utama.

Berarti, prosedur Eliminasi Gauss belum selesai. Berikutnya, abaikan baris pertama dan ulangi langkah 1 pada submatriks yang tersisa.$$\begin{bmatrix}\textcolor{red}{1}&\textcolor{red}{3}&\textcolor{red}{-2}&\textcolor{red}{0}&\textcolor{red}{2}&\textcolor{red}{0}&\textcolor{red}{0}\\0&0&-1&-2&0&-3&-1\\0&0&5&10&0&15&5\\0&0&4&8&0&18&6\end{bmatrix}$$

Ulangi Langkah 1

Kolom ketiga pada submatriks adalah kolom paling kiri yang tidak seluruhnya bernilai nol.

Ulangi Langkah 2

Entri paling atas pada kolom tersebut adalah $-1$ (bukan nol), sehingga kita tidak perlu melakukan penukaran baris.

Ulangi Langkah 3

Kalikan baris pertama submatriks dengan $\frac{1}{-1}$, agar baris tersebut mempunyai satu utama.$$\begin{bmatrix}\textcolor{red}{1}&\textcolor{red}{3}&\textcolor{red}{-2}&\textcolor{red}{0}&\textcolor{red}{2}&\textcolor{red}{0}&\textcolor{red}{0}\\0&0&1&2&0&3&1\\0&0&5&10&0&15&5\\0&0&4&8&0&18&6\end{bmatrix}$$

Ulangi Langkah 4

Terdapat entri tak nol di bawah satu utama, yaitu pada baris kedua dan ketiga submatriks. Kita perlu menambahkan $-5$ kali baris pertama pada baris kedua, dan $-4$ kali baris pertama pada baris ketiga.$$\begin{bmatrix}\textcolor{red}{1}&\textcolor{red}{3}&\textcolor{red}{-2}&\textcolor{red}{0}&\textcolor{red}{2}&\textcolor{red}{0}&\textcolor{red}{0}\\0&0&1&2&0&3&1\\0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&6&2\end{bmatrix}$$Seluruh entri di bawah satu utama sudah bernilai nol. Berikutnya, kita periksa, apakah matriks ini telah dalam bentuk eselon baris? Ternyata belum, sebab baris ketiga submatriks adalah baris tak nol, namun tidak mempunyai satu utama.

Berarti, prosedur Eliminasi Gauss belum selesai. Berikutnya, abaikan baris pertama submatriks dan ulangi langkah 1 pada submatriks yang tersisa.$$\begin{bmatrix}\textcolor{red}{1}&\textcolor{red}{3}&\textcolor{red}{-2}&\textcolor{red}{0}&\textcolor{red}{2}&\textcolor{red}{0}&\textcolor{red}{0}\\\textcolor{red}{0}&\textcolor{red}{0}&\textcolor{red}{1}&\textcolor{red}{2}&\textcolor{red}{0}&\textcolor{red}{3}&\textcolor{red}{1}\\0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&6&2\end{bmatrix}$$

Ulangi Langkah 1

Kolom keenam pada submatriks adalah kolom paling kiri yang tidak seluruhnya bernilai nol.

Ulangi Langkah 2

Entri paling atas pada kolom tersebut adalah $0$, sehingga kita tidak perlu melakukan penukaran baris. Kita tukar baris pertama submatriks dengan baris kedua, agar entri paling atas pada kolom tersebut bukan nol.$$\begin{bmatrix}\textcolor{red}{1}&\textcolor{red}{3}&\textcolor{red}{-2}&\textcolor{red}{0}&\textcolor{red}{2}&\textcolor{red}{0}&\textcolor{red}{0}\\\textcolor{red}{0}&\textcolor{red}{0}&\textcolor{red}{1}&\textcolor{red}{2}&\textcolor{red}{0}&\textcolor{red}{3}&\textcolor{red}{1}\\0&0&0&0&0&6&2\\0&0&0&0&0&0&0\end{bmatrix}$$

Ulangi Langkah 3

Kalikan baris pertama submatriks dengan $\frac{1}{6}$, agar baris tersebut mempunyai satu utama.$$\begin{bmatrix}\textcolor{red}{1}&\textcolor{red}{3}&\textcolor{red}{-2}&\textcolor{red}{0}&\textcolor{red}{2}&\textcolor{red}{0}&\textcolor{red}{0}\\\textcolor{red}{0}&\textcolor{red}{0}&\textcolor{red}{1}&\textcolor{red}{2}&\textcolor{red}{0}&\textcolor{red}{3}&\textcolor{red}{1}\\0&0&0&0&0&1&\frac{1}{3}\\0&0&0&0&0&0&0\end{bmatrix}$$

Ulangi Langkah 4

Seluruh entri di bawah satu utama sudah bernilai nol. Berikutnya, kita periksa, apakah matriks ini telah dalam bentuk eselon baris? Ya. Berarti prosedur Eliminasi Gauss telah selesai.

Demikian pembahasan mengenai Bentuk Eselon Baris dan Eliminasi Gauss. Jika teman-teman ingin berlatih, silakan kerjakan soal-soal latihan dalam referensi yang penulis sertakan pada bagian akhir tulisan. Semoga bermanfaat. :)

Referensi
Elementary Linear Algebra (11th Edition), by Howard Anton and Chris Rorres