KimiaMath

Definisi, Notasi, dan Contoh Himpunan Kosong

Oleh Aiz — 13 Juni 2019

Kategori: Landasan Matematika

Definisi, Notasi, dan Contoh Himpunan Kosong

Dalam tulisan ini, kita akan membahas mengenai definisi, notasi, dan contoh himpunan kosong. Kita juga akan membahas teorema yang menyatakan bahwa himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan. Kita mulai dengan definisi himpunan kosong.

Definisi

Himpunan kosong merupakan himpunan yang tidak memiliki anggota. Himpunan kosong dinyatakan dengan notasi $\{\}$, $\varnothing$, atau $\emptyset$.

Suatu himpunan dapat memuat himpunan lain sebagai anggotanya. Misal $A$ dan $B$ merupakan himpunan. Kita dapat mendefinisikan himpunan $C$ yang beranggotakan himpunan $A$ dan $B$, ditulis $C=\{A,B\}$. Jika $A=\{1,2\}$ dan $B=\{3\}$ maka kita dapat menulis himpunan $C$ sebagai $C=\{\{1.2\},\{3\}\}$.

Meskipun $\varnothing$ menyatakan himpunan kosong, $D=\{\varnothing\}$ bukan himpunan kosong. Karena himpunan $D$ mempunyai sebuah anggota, yaitu himpunan kosong $\varnothing$. Begitu pula himpunan $E=\{\varnothing,\{\varnothing\}\}$ yang mempunyai dua anggota, yaitu $\varnothing$ dan $\{\varnothing\}$.

Contoh 1

$A$ = Himpunan bilangan prima genap yang lebih dari 2.

Pembahasan

Bilangan prima adalah bilangan asli yang hanya memiliki dua faktor positif. Misalkan $x$ adalah bilangan genap lebih dari 2. Bilangan $x$ dan 1 jelas merupakan faktor dari $x$. Selain itu, 2 juga faktor dari $x$, karena $x$ merupakan bilangan genap. Nah, ternyata $x$ memiliki sedikitnya 3 faktor positif. Sehingga $x$ bukan bilangan prima.

Jadi, himpunan $A$ tidak memiliki anggota. Dengan kata lain, $A$ merupakan himpunan kosong.

Contoh 2

$B=\{x \in \mathbb{R} \: | \: x^2=-1\}$.

PEMBAHASAN

Himpunan $B$ beranggotakan bilangan real yang hasil kuadratnya adalah $-1$. Sebagaimana kita ketahui, untuk setiap bilangan real $x$ berlaku $x^2 \geq 0$. Karena $-1 < 0$, maka tidak ada bilangan real $x$ sehingga $x^2=-1$. Jadi, $B$ tidak memiliki anggota. Dengan kata lain, $B$ merupakan himpunan kosong.

Namun, jika himpunan $B$ kita modifikasi menjadi $B=\{x \in \mathbb{C} \: | \: x^2=-1\}$, maka $B$ bukan himpunan kosong. Karena terdapat $i \in \mathbb{C}$ sehingga $i^2=-1$, yang berarti $i \in B$. Jadi, kita perlu memperhatikan semesta pembicaraan dalam definisi himpunan.

CONTOH 3

Diketahui $C=\{1,3,5,7\}$ dan $D=\{2,4,6,8\}$. Tentukan $C \cap D$!

PEMBAHASAN

Himpunan $C \cap D$ beranggotakan unsur $x$ yang berada di $C$ sekaligus di $D$. Secara matematis, ditulis $$C \cap D = \{ x \: | \: x \in C \text{ dan } x \in D \}$$ Nah, sekarang kita periksa, apakah terdapat unsur $x$ yang demikian? Ternyata tidak ada, sebab anggota-anggota himpunan $C$ dan $D$ semuanya berbeda. Jadi, $C \cap D$ tidak memiliki anggota, ditulis $C \cap D = \varnothing$.

Terakhir, kita akan membuktikan sebuah teorema yang menyatakan bahwa himpunan kosong adalah himpunan bagian dari setiap himpunan. Teorema ini dapat dinyatakan sebagai berikut.

Teorema

Jika $A$ adalah himpunan maka $\varnothing \subseteq A$.

BUKTI

Kita akan membuktikan teorema ini dengan kontradiksi. Andaikan pernyataan dalam teorema ini salah, sehingga negasinya bernilai bernar. Negasi teorema ini adalah "$A$ adalah himpunan, tetapi $\varnothing \nsubseteq A$".

Diketahui $\varnothing \nsubseteq A$, artinya terdapat $x \in \varnothing$ tetapi $x \notin A$. Pernyataan "terdapat $x \in \varnothing$" saling kontradiksi dengan definisi himpunan kosong, yang menyatakan bahwa $\varnothing$ tidak memiliki anggota.

Jadi, pengandaian di atas tidak boleh dilakukan. Dengan demikian, terbukti bahwa untuk setiap himpunan $A$, berlaku $\varnothing \subseteq A$.

Demikian pembahasan mengenai himpunan kosong. Semoga bermanfaat. Jika ada pertanyaan atau kekeliruan dalam tulisan ini, silakan sampaikan melalui komentar. Terima kasih.

Komentar