KimiaMath

Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar Persamaan Kuadrat

Oleh Aiz — 21 Juni 2019

Kategori: Matematika Sekolah

Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar Persamaan Kuadrat

Dalam tulisan ini, kita akan mempelajari bagaimana cara menentukan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat. Untuk menentukan jumlah dan hasil kali akar, kita tidak perlu menentukan akar-akarnya terlebih dahulu, kita cukup melihat koefisien-koefisien persamaannya. Lebih lanjut, rumus jumlah dan hasil kali akar ini dapat digunakan dalam menyusun persamaan kuadrat baru.

Jika akar-akar persamaan kuadrat $ax^2 +bx+c=0$ adalah $x_1$ dan $x_2$, maka jumlah dan hasil kali akar-akarnya adalah $$\begin{aligned} x_1 + x_2 &= - \frac{b}{a} \\ x_1 \cdot x_2 &= \frac{c}{a} \end{aligned}$$

Penurunan Rumus

Berdasarkan rumus abc, akar-akar persamaan kuadrat $ax^2 +bx+c=0$ adalah $$\begin{aligned} x_1 &= \frac{-b + \sqrt{b^2 -4ac}}{2a} \\ x_2 &= \frac{-b - \sqrt{b^2 -4ac}}{2a} \end{aligned}$$

Jumlah kedua akar persamaan kuadrat di atas adalah $$\begin{aligned} x_1 + x_2 &= \frac{-b + \sqrt{b^2 -4ac}}{2a} + \frac{-b - \sqrt{b^2 -4ac}}{2a} \\ &= \frac{-2b}{2a} \\ &= - \frac{b}{a} \end{aligned}$$ Sedangkan hasil kali akar-akarnya adalah $$\begin{aligned} x_1 \cdot x_2 &= \frac{-b + \sqrt{b^2 -4ac}}{2a} \cdot \frac{-b - \sqrt{b^2 -4ac}}{2a} \\ &= \frac{(-b)^2 - (\sqrt{b^2 -4ac})^2}{4a^2} \\ &= \frac{b^2 - (b^2 -4ac)}{4a^2} \\ &= \frac{4ac}{4a^2} \\ &= \frac{c}{a} \end{aligned}$$

Selanjutnya, kita akan membahas beberapa contoh soal tentang rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat.

Contoh 1

Diketahui persamaan kuadrat $2x^2 -4x +3=0$. Tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat tersebut.

Pembahasan

Diketahui $a=2$, $b=-4$, dan $c=3$. Misalkan akar-akar persamaan kuadrat tersebut dengan $x_1$ dan $x_2$. Berdasarkan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar diperoleh. $$\begin{aligned} x_1 + x_2 &= - \frac{b}{a}=- \frac{(-4)}{2}=2 \\ x_1 \cdot x_2 &= \frac{c}{a}=\frac{3}{2} \end{aligned}$$ Jadi, jumlah dan hasil kali akar-akarnya secara berturut-turut adalah $2$ dan $\frac{3}{2}$.

Contoh 2

Salah satu akar dari persamaan kuadrat $2x^2 -(2p+1)x+p=0$ merupakan kebalikan dari akar yang lain. Hitunglah nilai p dan jumlah akar-akarnya.

Pembahasan

Diketahui $a=2$, $b=-2p-1$, dan $c=p$. Misalkan akar-akarnya $x_1$ dan $x_2$. Karena akar-akarnya berkebalikan, maka $x_2 = \frac{1}{x_1}$. Dengan rumus hasil kali akar-akar diperoleh $$\begin{aligned} x_1 \cdot x_2 &=\frac{c}{a} \\ x_1 \cdot \frac{1}{x_1} &= \frac{p}{2} \\ 1 &= \frac{p}{2} \\ p &= 2 \end{aligned}$$

Diperoleh $p=2$. Selanjutnya, jumlah akar-akar persamaan kuadrat tersebut dapat dicari dengan rumus $$\begin{aligned} x_1 + x_2 &= - \frac{(-2p-1)}{2} \\ &= \frac{2p+1}{2} \end{aligned}$$ Karena $p=2$, maka diperoleh $$\begin{aligned} x_1 + x_2 &= \frac{2 \cdot 2+1}{2} \\ &= \frac{5}{2} \end{aligned}$$

Contoh 3

Persamaan kuadrat $px^2 -(p+1)x+1=0$ mempunyai akar-akar $x_1$ dan $x_2$. Diketahui akar yang satu merupakan dua kali akar lainnya. Tentukan nilai p yang memenuhi.

Pembahasan

Diketahui $a=p$, $b=p-1$, $c=1$, dan $x_2=2 x_1$. Berdasarkan rumus jumlah akar-akar persamaan kuadrat diperoleh $$\begin{aligned} x_1 + x_2 &= - \frac{b}{a} \\ x_1 + 2 x_1 &= - \frac{(-p-1)}{p} \\ 3 x_1 &= \frac{p+1}{p} \\ x_1 &= \frac{p+1}{3p} \end{aligned}$$

Selanjutnya, dengan rumus hasil kali akar-akar diperoleh $$\begin{aligned} x_1 \cdot x_2 &= \frac{c}{a} \\ x_1 \cdot 2 x_1 &= \frac{1}{p} \\ 2 {x_1}^2 &= \frac{1}{p} \\ {x_1}^2 &= \frac{1}{2p} \end{aligned}$$

Substitusi nilai $x_1$ yang diperoleh, pada persamaan di atas. $$\begin{aligned} \left( \frac{p+1}{3p} \right) ^2 &= \frac{1}{2p} \\ \frac{p^2 +2p+1}{9p^2} &= \frac{1}{2p} \end{aligned}$$

Kalikan kedua ruas dengan $18p^2$, sehingga diperoleh $$\begin{aligned} 2p^2 +4p+2 &= 9p \\ 2p^2 -5p+2 &= 0 \end{aligned}$$

Komentar