Rata-rata mempunyai beberapa jenis, seperti rata-rata hitung (arithmetic mean), rata-rata geometri (geometric mean), dan rata-rata harmonik (harmonic mean). Namun, jika disebut "rata-rata" saja maka yang dimaksud adalah rata-rata hitung. Inilah yang akan kita bahas dalam tulisan ini.
Rata-rata disimbolkan dengan $\bar{x}$. Nilai $\bar{x}$ dapat dihitung dengan menjumlah seluruh datum, lalu membaginya dengan banyak datum. Sebagai contoh, rata-rata dari $2,2,3,4,4$ adalah$$\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{\text{Jumlah Datum}}{\text{Banyak Datum}} \\&= \frac{2+2+3+4+4}{5} \\&= \frac{15}{5} \\&= 3\end{aligned}$$
Dalam tulisan ini, kita akan mempelajari metode alternatif dalam menghitung rata-rata. Namun, sebelum itu, kita perlu membahas sebuah teorema. Teorema inilah yang akan kita gunakan dalam menghitung rata-rata.
Teorema 1
Misalkan $p$ adalah suatu bilangan real dan $\bar{x}$ adalah rata-rata dari $$x_1,x_2,\ldots,x_n$$Jika $\bar{y}$ adalah rata-rata dari$$x_1-p,x_2-p,\ldots,x_n-p$$maka berlaku $\bar{y}=\bar{x}-p$. Dengan kata lain, $\bar{x}=\bar{y}+p$.
Rata-rata dari $x_1,x_2,\ldots,x_n$ adalah $\bar{x}$, artinya$$\bar{x} = \frac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n} \quad \ldots (1)$$Misalkan $\bar{y}$ adalah rata-rata dari $x_1-p,x_2-p,\ldots,x_n-p$. Nilai $\bar{y}$ dapat dihitung dengan rumus berikut.$$\begin{aligned}\bar{y} &= \frac{\text{Jumlah Datum}}{\text{Banyak Datum}} \\&= \frac{(x_1-p)+(x_2-p)+\ldots+(x_n-p)}{n} \\&= \frac{(x_1+x_2+\ldots+x_n)+(\overbrace{-p-p-\ldots-p}^{\text{sebanyak n}})}{n} \quad &\text{[Sifat Asosiatif]} \\&= \frac{(x_1+x_2+\ldots+x_n)+(-p) \cdot n}{n} \\&= \frac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n} + \frac{(-p) \cdot n}{n} \\&= \bar{x} + (-p) &\text{[Berdasarkan } (1)] \\&= \bar{x}-p \end{aligned}$$Terbukti.
Berdasarkan Teorema 1, jika setiap datum dikurangi dengan $p$, maka rata-rata juga berkurang sebanyak $p$. Berikut adalah contoh penggunaan Teorema 1.
Contoh 1
Hitunglah rata-rata dari$$166,165,162,155,153,166,153$$
Pembahasan
Misalkan rata-ratanya adalah $\bar{x}$. Kita perlu memilih sebuah bilangan sebagai pengurang. Terserah saja sih. Misalnya, kita memilih 153. Kurangi setiap datum dengan 153, diperoleh$$13,12,9,2,0,13,0$$Data di atas mempunyai rata-rata$$\frac{13+12+9+2+0+13+0}{7} = \frac{49}{7} = 7$$Berdasarkan Teorema 1, diperoleh $\bar{x}=153+7=160$. Jadi, rata-rata tujuh datum pada soal adalah 160.
Contoh 2
Hitunglah rata-rata dari$$1993,1998,1991,1994,1990,1997,1991,1991,1993,1992$$
Pembahasan
Misalkan rata-ratanya adalah $\bar{x}$. Kita kurangi setiap datum dengan bilangan tertentu. Misalnya, kita memilih datum dengan nilai terkecil, yaitu $1990$. Diperoleh data baru$$3,8,1,4,0,7,1,1,3,2$$yang mempunyai rata-rata$$\frac{3+8+1+4+0+7+1+1+3+2}{10}=\frac{30}{10}=3$$Berdasarkan Teorema 1, diperoleh $\bar{x}=1990+3=1993$. Jadi, rata-rata sepuluh datum pada soal adalah 1993.
Dengan cara ini, kita dapat menghindari penjumlahan bilangan-bilangan yang bernilai besar. Perhitungan rata-rata menjadi lebih efektif dan efisien.
Dalam soal, seringkali disediakan data dan rata-ratanya. Kemudian, kita diminta menentukan salah satu datum yang belum diketahui. Serupa dengan bentuk soal sebelumnya, kita dapat menggunakan Teorema 1.
Untuk bentuk soal ini, pemilihan nilai $p$ berpengaruh besar terhadap efisiensi perhitungan. Perhitungan yang paling efisien diperoleh jika kita memilih $p=\bar{x}$. Coba pikirkan sebabnya, setelah membaca teorema berikut.
Teorema 2
Jika $\bar{x}$ adalah rata-rata dari $x_1,x_2,\ldots,x_n$ maka$$(x_1-\bar{x})+(x_2-\bar{x})+\ldots+(x_n-\bar{x}) = 0$$
Kurangi setiap datum dengan $\bar{x}$, sehingga diperoleh$$x_1-\bar{x},x_2-\bar{x},\ldots,x_n-\bar{x}$$Misalkan rata-rata data di atas adalah $\bar{y}$. Berdasarkan Teorema 1, rata-rata juga berkurang sebesar $\bar{x}$, sehingga $\bar{y}=\bar{x}-\bar{x}=0$. Perhatikan bahwa$$\begin{aligned}\bar{y} &= \frac{\text{Jumlah Datum}}{\text{Banyak Datun}} \\0 &= \frac{(x_1-\bar{x})+(x_2-\bar{x})+\ldots+(x_n-\bar{x})}{n} \\0 \cdot n &= (x_1-\bar{x})+(x_2-\bar{x})+\ldots+(x_n-\bar{x}) \\0 &= (x_1-\bar{x})+(x_2-\bar{x})+\ldots+(x_n-\bar{x})\end{aligned}$$Terbukti.
Berdasarkan Teorema 2, jika kita mengurangi setiap datum dengan $\bar{x}$, maka jumlah datum-datum yang baru adalah 0. Agar lebih paham, perhatikan contoh berikut.
Contoh 3
Ahmad memperoleh nilai 81 untuk mata kuliah Kalkulus Integral, 87 untuk Matematika Diskrit, 78 untuk Aljabar Linear, dan 85 untuk Statistika Dasar. Jika Ahmad ingin memperoleh rata-rata nilai sebesar 84, berapakah nilai yang harus ia peroleh untuk mata kuliah Matematika Ekonomi?
Pembahasan
Misalkan nilai Ahmad dalam mata kuliah Matematika Ekonomi adalah $x$, sehingga data$$81,87,78,85,x$$mempunyai rata-rata $\bar{x}=84$. Kurangi setiap datum dengan 84, sehingga diperoleh$$-3,3,-6,1,x-84$$Berdasarkan Teorema 2, jumlah dari datum-datum di atas adalah 0. Akibatnya$$\begin{aligned}-3+3+(-6)+1+(x-84) &= 0 \\x-89 &= 0 \\x &= 89\end{aligned}$$Jadi, Ahmad harus memperoleh nilai 89 dalam mata kuliah Matematika Ekonomi untuk memperoleh rata-rata nilai 84.
Jika teman-teman membaca Bukti Teorema 2, akan didapati bahwa Teorema 2 diturunkan dari Teorema 1. Jadi, jika teman-teman ingin menghapal Teorema 1 saja, tidak masalah kok. Coba bandingkan penyelesaian soal di atas, jika kita menggunakan Teorema 1.
Solusi Alternatif
Misalkan nilai Ahmad dalam mata kuliah Matematika Ekonomi adalah $x$, sehingga data$$81,87,78,85,x$$mempunyai rata-rata $\bar{x}=84$. Kurangi setiap datum dengan 84, sehingga diperoleh$$-3,3,-6,1,x-84$$Berdasarkan Teorema 1, data di atas memiliki rata-rata $\bar{x}-84=84-84=0$. Akibatnya$$\begin{aligned}\bar{y} &= \frac{-3+3+(-6)+1+(x-84)}{5} \\0 &= \frac{x-89}{5} \\0 &= x-89 \\x &= 89\end{aligned}$$Jadi, Ahmad harus memperoleh nilai 89 dalam mata kuliah Matematika Ekonomi untuk memperoleh rata-rata nilai 84.
Jika teman-teman bandingkan, kedua cara di atas tidak berbeda jauh. Jadi, jika teman-teman ingin menghapal Teorema 1 saja, tidak masalah. Namun, jika mampu menghapal keduanya, tentu lebih baik lagi.
Semoga bermanfaat!