Hasil perpangkatan bilangan kompleks terhadap suatu bilangan bulat dapat ditentukan dengan memanfaatkan operasi perkalian pada pilangan kompleks. Misalkan $z$ merupakan sebuah bilangan kompleks dengan bentuk aljabar $x+iy$. $z^3$ dan $z^{-2}$ secara berturut-turut dapat ditulis sebagai $z \cdot z \cdot z$ dan dan $z^{-1} \cdot z^{-1}$. Namun, sesuai judul tulisan ini, kita tidak akan membahas pangkat dari bilangan kompleks secara umum. Pembahasan dalam tulisan ini akan dibatasi pada pangkat bilangan imajiner.

Untuk $x=0$ dan $y=1$ diperoleh $z=i$. Berdasarkan operasi perkalian pada bilangan kompleks, diperoleh$$\begin{aligned}i^0&=1 \\i^1&=i \\i^2&=i \cdot i = -1 \\i^3&=i^2 \cdot i = -1 \cdot i =-i \\i^4&=i^3 \cdot i = -i \cdot i =-i^2=1 \\i^5&=i^4 \cdot i = 1 \cdot i =i \\i^6&=i^4 \cdot i^2 = 1 \cdot (-1) =-1 \\i^7&=i^4 \cdot i^3 = 1 \cdot (-i) =-i \\i^8&=i^4 \cdot i^4 = 1 \cdot 1 =1\end{aligned}$$Berdasarkan hasil di atas, kita dapat menuliskan proposisi berikut.

Proposisi

Untuk setiap bilangan bulat positif $n$ berlaku$$\begin{aligned}&i^{4n}=1 \\&i^{4n+1}=i \\&i^{4n+2}=-1 \\&i^{4n+3}=-i\end{aligned}$$

Kita akan membuktikan proposisi di atas dengan induksi matematika.

$i^{4n}=1, \: \text{untuk} \; n \in \mathbb{N}$

Misalkan $P(n)$ adalah pernyataan bahwa $i^{4n}=1$.

Langkah Dasar

$P(1)$ bernilai benar, karena $i^{4 \cdot 1}=i^4=1$.

Langkah Induksi

Asumsikan $P(k)$ bernilai benar, yaitu $i^{4k}=1$. Akan ditunjukkan bahwa $P(k+1)$ juga bernilai benar. Perhatikan bahwa$$\begin{aligned}i^{4(k+1)} &= i^{4k+4} \\&= i^{4k} \cdot i^4 \\&= 1 \cdot 1 \quad \quad \text{[Berdasarkan asumsi dan P(1)]} \\&= 1\end{aligned}$$Diperoleh, $P(k+1)$ juga bernilai benar. Berdasarkan induksi matematika, $P(n)$ bernilai benar untuk setiap bilangan asli $n$.Terbukti.

$i^{4n+1}=i, \: \text{untuk} \; n \in \mathbb{N}$

Misalkan $P(n)$ adalah pernyataan bahwa $i^{4n+1}=i$.

Langkah Dasar

$P(1)$ bernilai benar, karena $i^{4 \cdot 1 + 1}=i^5=i$.

Langkah Induksi

Asumsikan $P(k)$ bernilai benar, yaitu $i^{4k+1}=i$. Akan ditunjukkan bahwa $P(k+1)$ juga bernilai benar. Perhatikan bahwa$$\begin{aligned}i^{4(k+1)+1} &= i^{4k+4+1} \\&= i^{4k+5} \\&= i^{4k} \cdot i^5 \\&= 1 \cdot i \quad \quad \text{[Berdasarkan asumsi dan P(1)]} \\&= i\end{aligned}$$Diperoleh, $P(k+1)$ juga bernilai benar. Berdasarkan induksi matematika, $P(n)$ bernilai benar untuk setiap bilangan asli $n$.Terbukti.

$i^{4n+2}=-1, \: \text{untuk} \; n \in \mathbb{N}$

Misalkan $P(n)$ adalah pernyataan bahwa $i^{4n+2}=-1$.

Langkah Dasar

$P(1)$ bernilai benar, karena $i^{4 \cdot 1 + 2}=i^6=-1$.

Langkah Induksi

Asumsikan $P(k)$ bernilai benar, yaitu $i^{4k+2}=-1$. Akan ditunjukkan bahwa $P(k+1)$ juga bernilai benar. Perhatikan bahwa$$\begin{aligned}i^{4(k+1)+2} &= i^{4k+4+2} \\&= i^{4k+6} \\&= i^{4k} \cdot i^6 \\&= 1 \cdot (-1) \quad \text{[Berdasarkan asumsi dan P(1)]} \\&= -1\end{aligned}$$Diperoleh, $P(k+1)$ juga bernilai benar. Berdasarkan induksi matematika, $P(n)$ bernilai benar untuk setiap bilangan asli $n$.Terbukti.

$i^{4n+3}=-i, \: \text{untuk} \; n \in \mathbb{N}$

Misalkan $P(n)$ adalah pernyataan bahwa $i^{4n+3}=-i$.

Langkah Dasar

$P(1)$ bernilai benar, karena $i^{4 \cdot 1 + 3}=i^7=-i$.

Langkah Induksi

Asumsikan $P(k)$ bernilai benar, yaitu $i^{4k+3}=-i$. Akan ditunjukkan bahwa $P(k+1)$ juga bernilai benar. Perhatikan bahwa$$\begin{aligned}i^{4(k+1)+3} &= i^{4k+4+3} \\&= i^{4k+7} \\&= i^{4k} \cdot i^7 \\&= 1 \cdot (-i) \quad \text{[Berdasarkan asumsi dan P(1)]} \\&= -i\end{aligned}$$Diperoleh, $P(k+1)$ juga bernilai benar. Berdasarkan induksi matematika, $P(n)$ bernilai benar untuk setiap bilangan asli $n$.Terbukti.

Sampai di sini, kita telah mendapatkan hasil jika $i$ dipangkatkan dengan 0 dan bilangan bulat positif. Namun, bagaimana jika pangkatnya merupakan bilangan bulat negatif? Jika n merupakan bilangan bulat negatif, maka $-n$ bilangan bulat positif, sehingga$$\begin{aligned}i^n &= \left( i^{-1} \right)^{-n} \\&= \left( \frac{1}{i} \right)^{-n} \\&= \left( \frac{1}{i} \cdot \frac{i}{i} \right)^{-n} \\&= \left( \frac{i}{-1} \right)^{-n} \\&= \left( -i \right)^{-n}\end{aligned}$$Untuk lebih jelasnya, kita akan membahas beberapa contoh soal.

Contoh 1

Tentukan bentuk paling sederhana dari $i^{2018}$.

Pembahasan

Pangkat dari i merupakan bilangan bulat positif, dengan $2018=4 \cdot 504 + 2$. Berdasarkan rumus yang telah kita buktikan, diperoleh$$i^{2018}=i^{4 \cdot 504 + 2}=-1$$

Contoh 2

Tentukan bentuk paling sederhana dari $\left( 2i \right)^{-2018}$.

Pembahasan

Pangkat dari 2i merupakan bilangan bulat negatif.$$\begin{aligned}\left( 2i \right)^{-2018} &= 2^{2018} \cdot i^{-2018} \\&= 2^{2018} \cdot (-i)^{2018} \\&= 2^{2018} \cdot (-1)^{2018} \cdot i^{2018} \\&= 2^{2018} \cdot 1 \cdot (-1) \\&= -2^{2018}\end{aligned}$$

Contoh 3

Tentukan bentuk paling sederhana dari $i^{105}+i^{23}+i^{20}-i^{34}$.

Pembahasan

$$\begin{aligned}i^{105}+i^{23}+i^{20}-i^{34} &= i^{4 \cdot 26 + 1} + i^{4 \cdot 5 + 3} + i^{4 \cdot 5}-i^{4 \cdot 8 + 2} \\&= i + (-i) + 1-(-1) \\&= 2\end{aligned}$$