Sebelumnya, kita telah membahas definisi dan beberapa contoh grup. Kita akan melanjutkan bahasan tersebut. Kali ini kita akan membahas beberapa teorema atau sifat grup. Sebelum masuk pada teorema beserta pembuktiannya, perlu dipahami bahwa dalam tulisan ini saya menuliskan hasil operasi $a*b$ dengan lebih sederhana sebagai $ab$.

Teorema 1

Unsur identitas pada suatu grup bersifat tunggal.

BUKTI

Untuk membuktikan bahwa unsur identitas grup tunggal, kita dapat menunjukkan bahwa jika dua objek memenuhi sifat identitas maka dua objek tersebut haruslah sama.

Misalkan $G$ grup, dan $e_1,e_2 \in G$ merupakan unsur identitas pada $G$. Akan ditunjukkan $e_1=e_2$.Karena $e_1$ dan $e_2$ unsur identitas, maka untuk sebarang $a \in G$ berlaku:$$\begin{aligned}&e_1a=a &\textbf{(1)} \\&ae_2=a &\textbf{(2)}\end{aligned}$$

Dengan mengganti $a$ pada persamaan (1) dan (2) secara berturut-turut dengan $e_2$ dan $e_1$ diperoleh$$\begin{aligned}&e_1e_2=e_2 &\textbf{(3)} \\&e_1e_2=e_1 &\textbf{(4)}\end{aligned}$$

Berdasarkan persamaan (3) dan (4), diperoleh $e_1=e_2$.Jadi, terbukti bahwa unsur identitas pada grup bersifat tunggal.

Teorema 2

Invers anggota pada suatu grup bersifat tunggal.

BUKTI

Ide yang digunakan dalam membuktikan teorema ini serupa dengan ide pada teorema sebelumnya. Tinjau sebuah anggota dari grup, misalnya $x$. Untuk membuktikan bahwa invers dari $x$ bersifat tunggal, kita dapat menunjukkan bahwa jika dua objek merupakan invers dari $x$ maka dua objek tersebut haruslah sama.

Misalkan $G$ grup, dengan unsur identitas $e$.Ambil sebarang $a \in G$, dengan $b,c \in G$ merupakan invers dari $a$. Akan ditunjukkan $b=c$.Karena $b$ dan $c$ invers dari $a$, maka berlaku:$$\begin{aligned}&ba=e &\textbf{(1)} \\&ac=e &\textbf{(2)}\end{aligned}$$

Perhatikan bahwa$$\begin{aligned}b &= be &\text{[e unsur identitas]} \\&= b(ac) &\text{[Berdasarkan (2)]} \\&= (ba)c &\text{[Sifat asosiatif]} \\&= ec &\text{[Berdasarkan (1)]} \\&= c &\text{[e unsur identitas]}\end{aligned}$$

Diperoleh $b=c$. Jadi, terbukti bahwa invers anggota pada suatu grup bersifat tunggal.

Teorema 3

Misalkan $G$ grup. Untuk setiap $a \in G$ berlaku $(a^{-1})^{-1}=a$.

BUKTI

Misalkan $G$ grup. Ambil sebarang $a \in G$. Akan dibuktikan $(a^{-1})^{-1}=a$.Berdasarkan definisi invers suatu anggota, diperoleh $a^{-1}a=e$ dan $a^{-1}(a^{-1})^{-1}=e$. Dari kedua persamaan ini, diperoleh$$\begin{aligned}a^{-1}a &= a^{-1}(a^{-1})^{-1} \\a(a^{-1}a) &= a(a^{-1}(a^{-1})^{-1}) \\(aa^{-1})a &= (aa^{-1})(a^{-1})^{-1} &\text{[Sifat asosiatif]} \\ea &= e(a^{-1})^{-1} &[a^{-1} \text{ invers dari a]} \\a &= (a^{-1})^{-1} &\text{[e unsur identitas]}\end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa $(a^{-1})^{-1}=a$.

Teorema 4

Misalkan $G$ grup. Untuk setiap $a,b \in G$ berlaku $(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$.

BUKTI

Isi teorema ini menyatakan bahwa invers dari $ab$ adalah $b^{-1}a^{-1}$. Sehingga, kita perlu menunjukkan bahwa keduanya memenuhi syarat invers suatu anggota, yaitu $(ab)(b^{-1}a^{-1})=e$ dan $(b^{-1}a^{-1})(ab)=e$.

Misalkan $G$ grup. Ambil sebarang $a,b \in G$. Akan dibuktikan $(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$.Untuk membuktikan hal ini, kita cukup menunjukkan bahwa $(ab)(b^{-1}a^{-1})=e$ dan $(b^{-1}a^{-1})(ab)=e$.Perhatikan bahwa$$\begin{aligned}(ab)(b^{-1}a^{-1}) &= ((ab)b^{-1})a^{-1} &\text{[Sifat asosiatif]} \\&= (a(bb^{-1}))a^{-1} &\text{[Sifat asosiatif]} \\&= (ae)a^{-1} &[b^{-1} \text{ invers dari b]} \\&= aa^{-1} &\text{[e unsur identitas]} \\&= e &[a^{-1} \text{ invers dari a]}\end{aligned}$$Di lain pihak$$\begin{aligned}(b^{-1}a^{-1})(ab) &= b^{-1}(a^{-1}(ab)) &\text{[Sifat asosiatif]} \\&= b^{-1}((a^{-1}a)b) &\text{[Sifat asosiatif]} \\&= b^{-1}(eb) &[a^{-1} \text{ invers dari a]} \\&= b^{-1}b &\text{[e unsur identitas]} \\&= e &[b^{-1} \text{ invers dari b]}\end{aligned}$$

Berdasarkan definisi invers suatu anggota, diperoleh $(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$.Jadi, terbukti bahwa $(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$.

Teorema 5

Misalkan $G$ grup dan $a,b,c$ sebarang anggota dari $G$.
a. Jika $ab=ac$ maka $b=c$.
b. Jika $ba=ca$ maka $b=c$.

BUKTI

Misalkan $G$ grup. Ambil sebarang $a,b,c \in G$.

Bagian a
Diketahui $ab=ac$. Akan dibuktikan $b=c$.Perhatikan bahwa$$\begin{aligned}ab &= ac \\a^{-1}(ab) &= a^{-1}(ac) \\(a^{-1}a)b &= (a^{-1}a)c &\text{[Sifat asosiatif]} \\eb &= ec &[a^{-1} \text{ invers dari a]} \\b &= c &\text{[e unsur identitas]}\end{aligned}$$Terbukti.

Bagian b
Diketahui $ba=ca$. Akan dibuktikan $b=c$.Perhatikan bahwa$$\begin{aligned}ba &= ca \\(ba)a^{-1} &= (ca)a^{-1} \\b(aa^{-1}) &= c(aa^{-1}) &\text{[Sifat asosiatif]} \\be &= ce &[a^{-1} \text{ invers dari a]} \\b &= c &\text{[e unsur identitas]}\end{aligned}$$Terbukti.

Teorema terakhir ini disebut sebagai hukum pembatalan (Cancellation Law). Dalam bahasa yang lebih sederhana, jika $ab=ac$ maka unsur $a$ yang ada pada sebelah kiri setiap ruas dapat dicoret. Secara berturut-turut, bagian a dan b dari teorema ini disebut hukum pembatalan kiri dan kanan. Tahu alasannya, kan?

Demikian pembahasan mengenai teorema dasar pada grup. Semoga bermanfaat.Jika ada yang ingin ditanyakan atau dirasa keliru, silahkan sampaikan melalui komentar.