Sebelumnya, kita telah membahas definisi dan beberapa contoh grup. Kita akan melanjutkan bahasan tersebut. Kali ini kita akan membahas beberapa teorema atau sifat grup. Sebelum masuk pada teorema beserta pembuktiannya, perlu dipahami bahwa dalam tulisan ini saya menuliskan hasil operasi $a*b$ dengan lebih sederhana sebagai $ab$.
Teorema 1
BUKTI
Misalkan $G$ grup, dan $e_1,e_2 \in G$ merupakan unsur identitas pada $G$. Akan ditunjukkan $e_1=e_2$.Karena $e_1$ dan $e_2$ unsur identitas, maka untuk sebarang $a \in G$ berlaku:$$\begin{aligned}&e_1a=a &\textbf{(1)} \\&ae_2=a &\textbf{(2)}\end{aligned}$$
Dengan mengganti $a$ pada persamaan (1) dan (2) secara berturut-turut dengan $e_2$ dan $e_1$ diperoleh$$\begin{aligned}&e_1e_2=e_2 &\textbf{(3)} \\&e_1e_2=e_1 &\textbf{(4)}\end{aligned}$$
Berdasarkan persamaan (3) dan (4), diperoleh $e_1=e_2$.Jadi, terbukti bahwa unsur identitas pada grup bersifat tunggal.
Teorema 2
BUKTI
Misalkan $G$ grup, dengan unsur identitas $e$.Ambil sebarang $a \in G$, dengan $b,c \in G$ merupakan invers dari $a$. Akan ditunjukkan $b=c$.Karena $b$ dan $c$ invers dari $a$, maka berlaku:$$\begin{aligned}&ba=e &\textbf{(1)} \\&ac=e &\textbf{(2)}\end{aligned}$$
Perhatikan bahwa$$\begin{aligned}b &= be &\text{[e unsur identitas]} \\&= b(ac) &\text{[Berdasarkan (2)]} \\&= (ba)c &\text{[Sifat asosiatif]} \\&= ec &\text{[Berdasarkan (1)]} \\&= c &\text{[e unsur identitas]}\end{aligned}$$
Diperoleh $b=c$. Jadi, terbukti bahwa invers anggota pada suatu grup bersifat tunggal.
Teorema 3
BUKTI
Misalkan $G$ grup. Ambil sebarang $a \in G$. Akan dibuktikan $(a^{-1})^{-1}=a$.Berdasarkan definisi invers suatu anggota, diperoleh $a^{-1}a=e$ dan $a^{-1}(a^{-1})^{-1}=e$. Dari kedua persamaan ini, diperoleh$$\begin{aligned}a^{-1}a &= a^{-1}(a^{-1})^{-1} \\a(a^{-1}a) &= a(a^{-1}(a^{-1})^{-1}) \\(aa^{-1})a &= (aa^{-1})(a^{-1})^{-1} &\text{[Sifat asosiatif]} \\ea &= e(a^{-1})^{-1} &[a^{-1} \text{ invers dari a]} \\a &= (a^{-1})^{-1} &\text{[e unsur identitas]}\end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa $(a^{-1})^{-1}=a$.
Teorema 4
BUKTI
Misalkan $G$ grup. Ambil sebarang $a,b \in G$. Akan dibuktikan $(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$.Untuk membuktikan hal ini, kita cukup menunjukkan bahwa $(ab)(b^{-1}a^{-1})=e$ dan $(b^{-1}a^{-1})(ab)=e$.Perhatikan bahwa$$\begin{aligned}(ab)(b^{-1}a^{-1}) &= ((ab)b^{-1})a^{-1} &\text{[Sifat asosiatif]} \\&= (a(bb^{-1}))a^{-1} &\text{[Sifat asosiatif]} \\&= (ae)a^{-1} &[b^{-1} \text{ invers dari b]} \\&= aa^{-1} &\text{[e unsur identitas]} \\&= e &[a^{-1} \text{ invers dari a]}\end{aligned}$$Di lain pihak$$\begin{aligned}(b^{-1}a^{-1})(ab) &= b^{-1}(a^{-1}(ab)) &\text{[Sifat asosiatif]} \\&= b^{-1}((a^{-1}a)b) &\text{[Sifat asosiatif]} \\&= b^{-1}(eb) &[a^{-1} \text{ invers dari a]} \\&= b^{-1}b &\text{[e unsur identitas]} \\&= e &[b^{-1} \text{ invers dari b]}\end{aligned}$$
Berdasarkan definisi invers suatu anggota, diperoleh $(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$.Jadi, terbukti bahwa $(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$.
Teorema 5
a. Jika $ab=ac$ maka $b=c$.
b. Jika $ba=ca$ maka $b=c$.
BUKTI
Misalkan $G$ grup. Ambil sebarang $a,b,c \in G$.
Bagian a
Diketahui $ab=ac$. Akan dibuktikan $b=c$.Perhatikan bahwa$$\begin{aligned}ab &= ac \\a^{-1}(ab) &= a^{-1}(ac) \\(a^{-1}a)b &= (a^{-1}a)c &\text{[Sifat asosiatif]} \\eb &= ec &[a^{-1} \text{ invers dari a]} \\b &= c &\text{[e unsur identitas]}\end{aligned}$$Terbukti.
Bagian b
Diketahui $ba=ca$. Akan dibuktikan $b=c$.Perhatikan bahwa$$\begin{aligned}ba &= ca \\(ba)a^{-1} &= (ca)a^{-1} \\b(aa^{-1}) &= c(aa^{-1}) &\text{[Sifat asosiatif]} \\be &= ce &[a^{-1} \text{ invers dari a]} \\b &= c &\text{[e unsur identitas]}\end{aligned}$$Terbukti.
Teorema terakhir ini disebut sebagai hukum pembatalan (Cancellation Law). Dalam bahasa yang lebih sederhana, jika $ab=ac$ maka unsur $a$ yang ada pada sebelah kiri setiap ruas dapat dicoret. Secara berturut-turut, bagian a dan b dari teorema ini disebut hukum pembatalan kiri dan kanan. Tahu alasannya, kan?
Demikian pembahasan mengenai teorema dasar pada grup. Semoga bermanfaat.Jika ada yang ingin ditanyakan atau dirasa keliru, silahkan sampaikan melalui komentar.