Himpunan bilangan real disebut sebagai lapangan terurut lengkap. Penamaan ini diberikan karena himpunan bilangan real dengan operasi penjumlahan dan perkalian memenuhi aksioma lapangan (sifat aljabar), sifat urutan, dan sifat kelengkapan. Dalam tulisan sebelumnya, kita telah belajar mengenai sifat aljabar. Kali ini, kita akan belajar mengenai sifat urutan pada himpunan bilangan real.

Secara sederhana, sifat urutan memungkinkan kita mengurutkan anggota-anggota himpunan bilangan real. Jika kita diberikan dua bilangan real maka kita dapat menentukan bilangan mana yang nilainya lebih dari bilangan lainnya. Sifat urutan berkaitan dengan kepositifan dan ketaksamaan di antara bilangan-bilangan real.

Serupa dengan pembahasan sifat aljabar pada himpunan bilangan real, kita akan memulai dengan tiga sifat dasar. Dari ketiga sifat ini, kita akan menurunkan sifat-sifat lainnya, termasuk aturan-aturan dalam ketaksamaan.

Sifat Urutan pada $\mathbb{R}$

Terdapat himpunan bagian tak kosong $\mathbb{P}$ dari $\mathbb{R}$, yang disebut himpunan bilangan real positif, yang memenuhi sifat-sifat berikut.
  1. Jika $a,b \in \mathbb{P}$ maka $a+b \in \mathbb{P}$.
  2. Jika $a,b \in \mathbb{P}$ maka $ab \in \mathbb{P}$.
  3. Jika $a \in \mathbb{R}$ maka tepat satu dari pernyataan berikut berlaku:
    $$a \in \mathbb{P}, \quad a=0, \quad -a \in \mathbb{P}$$

Sifat ketiga disebut sifat trikotomi, karena sifat ini membagi himpunan bilangan real menjadi tiga jenis elemen, yaitu bilangan real positif, bilangan nol, dan bilangan real negatif. Himpunan bilangan real negatif, $\{-a \mid a \in \mathbb{P}\}$ tidak mempunyai elemen persekutuan dengan himpunan bilangan real positif $\mathbb{P}$.

Jika $a \in \mathbb{P}$, maka kita menulis $a > 0$ dan dikatakan bahwa $a$ adalah bilangan real positif. Jika $a \in \mathbb{P} \cup \{0\}$, maka kita menulis $a \geq 0$ dan dikatakan bahwa $a$ adalah bilangan real tak negatif. Jika $-a \in \mathbb{P}$, maka kita menulis $a < 0$ dan dikatakan bahwa $a$ adalah bilangan real negatif. Jika $-a \in \mathbb{P} \cup \{0\}$, maka kita menulis $a \leq 0$ dan dikatakan bahwa $a$ adalah bilangan real tak positif.

Ketaksamaan antara dua bilangan real didefinisikan menggunakan himpunan $\mathbb{P}$.

Definisi

Misalkan $a,b \in \mathbb{R}$.
  1. Jika $a-b \in \mathbb{P}$ maka kita menulis $a > b$ atau $b < a$.
  2. Jika $a-b \in \mathbb{P} \cup \{0\}$ maka kita menulis $a \geq b$ atau $b \leq a$.

Sifat urutan pada $\mathbb{R}$ dan definisi di atas dapat digunakan untuk menurunkan aturan-aturan dalam ketaksamaan. Beberapa aturan ini telah dipelajari pada tingkat sekolah menengah.

Teorema 1

Misalkan $a,b,c \in \mathbb{R}$. Jika $a>b$ dan $b>c$, maka $a>c$.

Bukti

Teorema di atas memuat ketaksamaan. Untuk itu, kita perlu menyatakannya sebagai anggota himpunan $\mathbb{P}$.
Diambil sebarang $a,b,c \in \mathbb{R}$, dengan $a>b$ dan $b>c$. Berdasarkan definisi, diperoleh $a-b \in \mathbb{P}$ dan $b-c \in \mathbb{P}$.

Kita akan membuktikan bahwa $a>c$. Untuk itu, kita perlu menunjukkan bahwa $a-c \in \mathbb{P}$.

Berdasarkan Sifat Urutan a, hasil penjumlahan dua anggota $\mathbb{P}$ juga merupakan anggota $\mathbb{P}$. Artinya$$(a-b)+(b-c) = a-c$$merupakan anggota $\mathbb{P}$. Berdasarkan definisi, $a-c \in \mathbb{P}$ dapat ditulis sebagai $a>c$. Terbukti.

Teorema 2

Misalkan $a,b,c \in \mathbb{R}$. Jika $a>b$, maka $a+c>b+c$.

Bukti

Diambil sebarang $a,b,c \in \mathbb{R}$, dengan $a>b$. Berdasarkan definisi, $a>b$ dapat ditulis sebagai $a-b \in \mathbb{P}$. Kita akan membuktikan bahwa $a+c>b+c$. Untuk itu, kita perlu menunjukkan bahwa $(a+c)-(b+c) \in \mathbb{P}$.

Perhatikan bahwa$$(a+c)-(b+c)=a+c-b-c=a-b$$Padahal kita tahu $a-b \in \mathbb{P}$. Akibatnya, $(a+c)-(b+c) \in \mathbb{P}$. Berdasarkan definisi, diperoleh $a+c>b+c$. Terbukti.

Teorema 3

Misalkan $a,b,c \in \mathbb{R}$.
  1. Jika $a>b$ dan $c>0$, maka $ca > cb$.
  2. Jika $a>b$ dan $c<0$, maka $ca < cb$.

Bukti

Bagian a
Diambil sebarang $a,b,c \in \mathbb{R}$, dengan $a>b$ dan $c>0$. Berdasarkan definisi, $a>b$ berarti $a-b \in \mathbb{P}$ dan $c>0$ berarti $c \in \mathbb{P}$. Kita akan membuktikan bahwa $ca>cb$. Untuk itu, kita perlu menunjukkan bahwa $ca-cb \in \mathbb{P}$.

Kita mempunyai $a-b \in \mathbb{P}$ dan $c \in \mathbb{P}$. Berdasarkan Sifat Urutan b, hasil kalinya, yaitu$$c(a-b)=ca-cb$$merupakan anggota $\mathbb{P}$. Diperoleh $ca-cb \in \mathbb{P}$, yang berarti $ca>cb$. Terbukti.

Bagian b
Diambil sebarang $a,b,c \in \mathbb{R}$, dengan $a > b$ dan $c < 0$. Berdasarkan definisi, $a>b$ berarti $a-b \in \mathbb{P}$ dan $c < 0$ berarti $-c \in \mathbb{P}$. Kita akan membuktikan bahwa $ca < cb$. Untuk itu, kita perlu menunjukkan bahwa $cb-ca \in \mathbb{P}$.

Kita mempunyai $a-b \in \mathbb{P}$ dan $-c \in \mathbb{P}$. Berdasarkan Sifat Urutan b, hasil kalinya, yaitu$$\begin{aligned}(-c)(a-b) &=(-c)a-(-c)b \\&= -ca+cb \\&= cb-ca\end{aligned}$$merupakan anggota $\mathbb{P}$. Diperoleh $cb-ca \in \mathbb{P}$, yang berarti $ca < cb$. Terbukti.

Kita tentu yakin bahwa setiap bilangan asli adalah bilangan real positif. Namun, sekadar yakin itu belum cukup, kita perlu menuliskan buktinya. Berikut adalah sebuah teorema terkait hal ini.

Teorema 4

  1. Jika $a \in \mathbb{R}$ dan $a \neq 0$, maka $a^2>0$.
  2. $1>0$.
  3. Untuk setiap $n \in \mathbb{N}$, berlaku $n>0$.

Bukti

Bagian a
Diambil sebarang $a \in \mathbb{R}$, dengan $a \neq 0$. Berdasarkan sifat trikotomi, tersisa dua kemungkinan, yaitu $a >0 $ atau $a < 0$. Secara berturut-turut, hal ini berarti $a \in \mathbb{P}$ atau $-a \in \mathbb{P}$. Kita akan membuktikan bahwa $a^2 > 0$. Untuk itu, kita perlu menunjukkan bahwa $a^2 \in \mathbb{P}$.

Kasus 1: $a \in \mathbb{P}$. Berdasarkan Sifat Urutan 2, $a \cdot a=a^2 \in \mathbb{P}$, sehingga $a^2>0$.
Kasus 2: $-a \in \mathbb{P}$. Berdasarkan Sifat Urutan 2, $(-a) \cdot (-a)=a \cdot a=a^2 \in \mathbb{P}$, sehingga $a^2>0$.

Berdasarkan kedua kasus di atas, terbukti bahwa $a^2 > 0$.

Bagian b
Kita tahu bahwa $1 \in \mathbb{R}$ dan $1 \neq 0$. Berdasarkan teorema pada bagian a, diperoleh $1=1^2>0$.

Bagian c
Kita akan membuktikan pernyataan ini dengan induksi matematika. Untuk $n \in \mathbb{N}$, misalkan $P(n)$ adalah pernyataan $n > 0$.

Langkah Dasar: Untuk $n=1$, kita punya $P(1):1>0$. Berdasarkan teorema pada bagian b, $P(1)$ bernilai benar.

Langkah Induksi:Misal $k \in \mathbb{N}$. Asumsikan $P(k)$ bernilai benar, yaitu$$P(k):k>0$$Kita akan membuktikan bahwa $P(k+1)$ juga bernilai benar, yaitu$$P(k+1):k+1>0$$

Berdasarkan definisi, asumsi bahwa $k>0$ berarti $k \in \mathbb{P}$. Pada teorema bagian b, diperoleh $1 > 0$ yang berarti $1 \in \mathbb{P}$. Berdasarkan Sifat Urutan a, $k \in \mathbb{P}$ dan $1 \in \mathbb{P}$ berakibat $k+1 \in \mathbb{P}$. Artinya $k+1 > 0$. Dengan demikian, $P(k+1)$ bernilai benar.

Berdasarkan Prinsip Induksi Matematika, terbukti bahwa $P(n)$ bernilai benar untuk setiap bilangan asli $n$. Jadi, untuk setiap $n \in \mathbb{N}$ berlaku $n > 0$.

Berikutnya, kita akan membahas sebuah teorema yang diperlukan dalam membuktikan Teorema 6.

Teorema 5

  1. Jika $a > 0$ maka $\frac{1}{a} > 0$.
  2. Jika $a < 0$ maka $\frac{1}{a} < 0$.

Bukti

Dalam tulisan ini, kita hanya membuktikan teorema bagian a. Untuk bukti bagian b, saya serahkan pada pembaca. :)

Kita akan membuktikan teorema ini dengan kontradiksi. Asumsikan $a$ adalah bilangan real dengan $a > 0$ ($a \in \mathbb{P}$), tetapi $\frac{1}{a} \leq 0$. Perlu diperhatikan bahwa tidak ada bilangan real $a$ sehingga $\frac{1}{a}=0$. Akibatnya $\frac{1}{a} < 0$, atau dapat ditulis $-\frac{1}{a} \in \mathbb{P}$.

Kita punya $a \in \mathbb{P}$ dan $-\frac{1}{a} \in \mathbb{P}$. Berdasarkan Sifat Urutan b, hasil kali kedua bilangan ini juga elemen $\mathbb{P}$. Perhatikan bahwa$$\begin{aligned}\left( -\frac{1}{a} \right) \cdot a &= \left( (-1) \cdot \frac{1}{a} \right) \cdot a &\quad [\forall x \in \mathbb{R}, \: -x=(-1) \cdot x] \\&= (-1) \cdot \left( \frac{1}{a} \cdot a \right) &\quad \text{[M2]} \\&= (-1) \cdot 1 &\quad \text{[M4]} \\&= -1 &\quad \text{[M3]}\end{aligned}$$Akibatnya $-1 \in \mathbb{P}$, atau dapat ditulis $1 < 0$. Terjadi kontradiksi dengan Teorema 4b. Dengan demikian, pengandaian $\frac{1}{a} \leq 0$ tidak boleh dilakukan. Terbukti.

Berdasarkan Sifat Urutan b, kita tahu bahwa hasil kali dua bilangan real positif adalah bilangan real positif. Namun, kepositifan hasil kali dua bilangan real, tidak menjamin setiap faktornya juga positif. Hal ini berdasarkan teorema berikut.

Teorema 6

Untuk setiap bilangan real $a$ dan $b$, jika $ab > 0$ maka
  1. $a > 0$ dan $b > 0$, atau
  2. $a < 0$ dan $b < 0$.

Bukti

Diambil sebarang $a,b \in \mathbb{R}$, dengan $ab > 0$. Hal ini berarti $ab \in \mathbb{P}$. Perhatikan bahwa $a \neq 0$, karena jika $a=0$ maka $ab=0$. Berdasarkan Sifat Trikotomi, tersisa dua kemungkinan, yaitu $a \in \mathbb{P}$ atau $-a \in \mathbb{P}$.

Kasus 1: $a \in \mathbb{P}$, atau dapat ditulis $a > 0$. Berdasarkan Teorema 5a, haruslah $\frac{1}{a} \in \mathbb{P}$. Perhatikan bahwa$$\begin{aligned}b &= 1 \cdot b &\quad \text[M3] \\&= \left( \frac{1}{a} \cdot a \right) \cdot b &\quad \text[M4] \\&= \frac{1}{a} \cdot (a \cdot b) &\quad \text[M2] \end{aligned}$$Kita punya $\frac{1}{a} \in \mathbb{P}$ dan $a \cdot b \in \mathbb{P}$. Berdasarkan Sifat Urutan b, diperoleh$$b=\frac{1}{a} \cdot (a \cdot b) \in \mathbb{P}$$Hal ini berarti $b > 0$.

Kasus 2: $-a \in \mathbb{P}$, atau dapat ditulis $a < 0$. Berdasarkan Teorema 5b, haruslah $-\frac{1}{a} \in \mathbb{P}$. Perhatikan bahwa$$\begin{aligned}-b &= (-1) \cdot b &\quad [\forall x \in \mathbb{R}, \: -x=(-1) \cdot x] \\&= (-1) \cdot 1 \cdot b &\quad \text[M3] \\&= (-1) \cdot \left( \frac{1}{a} \cdot a \right) \cdot b &\quad \text[M4] \\&= \left[ (-1) \cdot \frac{1}{a} \right] \cdot (a \cdot b) &\quad \text[M2] \\&= \left( -\frac{1}{a} \right) \cdot (a \cdot b) &\quad [\forall x \in \mathbb{R}, \: -x=(-1) \cdot x]\end{aligned}$$Kita punya $-\frac{1}{a} \in \mathbb{P}$ dan $a \cdot b \in \mathbb{P}$. Berdasarkan Sifat Urutan b, diperoleh$$-b=\left(-\frac{1}{a} \right) \cdot (a \cdot b) \in \mathbb{P}$$Hal ini berarti $b < 0$.

Pada kasus pertama, diperoleh $a > 0$ dan $b > 0$. Sedangkan pada kasus kedua, diperoleh $a < 0$ dan $b < 0$. Terbukti.

Mungkin terbersit pertanyaan dalam benak pembaca, bagaimana jika $ab < 0$? Saya yakin pembaca bisa menduga jawabannya. Silakan periksa dugaan anda dengan memperhatikan Teorema berikut ini.

Teorema 7

Untuk setiap bilangan real $a$ dan $b$, jika $ab < 0$ maka
  1. $a > 0$ dan $b < 0$, atau
  2. $a < 0$ dan $b > 0$.

Ohya, penulis tidak menyertakan bukti Teorema di atas. Struktur buktinya mirip dengan bukti Teorema 6. Saya persilakan teman-teman untuk menuliskan buktinya. Selamat mencoba. :)

Demikian pembahasan mengenai sifat urutan pada himpunan bilangan real, beserta beberapa teorema yang dapat diturunkan dari sifat ini. Selain teorema-teorema ini, masih banyak teorema lain yang dapat diturunkan dari sifat urutan. Jika teman-teman ingin berlatih, silakan kerjakan soal-soal latihan dalam referensi berikut ini. Semoga bermanfaat. :)

Referensi
Introduction to Real Analysis (Fourth Edition), by Robert G. Bartle and Donald R. Sherbert