Pada jenjang Sekolah Menengah Atas (SMA), kita telah mempelajari cara menentukan turunan suatu fungsi dengan menggunakan beberapa teorema. Dalam tulisan ini, kita akan mempelajari cara lain dalam menentukan turunan suatu fungsi, yaitu menggunakan definisi turunan fungsi. Cara ini terbilang lebih rumit dibanding menggunakan teorema. Akan tetapi, jika kita memang tertarik dengan matematika, apalagi jika kuliah di jurusan matematika, kita perlu menguasai cara ini sebelum menentukan turunan fungsi menggunakan teorema.
Definisi
Turunan fungsi $f$ yang dinotasikan sebagai $f'$, merupakan sebuah fungsi yang nilainya pada sebarang nilai x:$$f'(x)= \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$
Untuk lebih jelasnya, kita akan membahas beberapa contoh soal.
Contoh 1
Tentukan turunan pertama dari $f(x)=x^2$.
$$\begin{aligned}f'(x) &= \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h} \\&= \lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^2 - x^2}{h} \\&= \lim_{h \to 0}\frac{(x^2 + h^2 + 2hx) - x^2}{h} \\&= \lim_{h \to 0}\frac{h^2 + 2hx}{h} \\&= \lim_{h \to 0}\frac{h(h + 2x)}{h} \\&= \lim_{h \to 0} h + 2x \\&= 2x\end{aligned}$$
Contoh 2
Tentukan turunan pertama dari $f(x)= \frac{1}{x^2 + 1}$.
$$\begin{aligned}f'(x) &= \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h} \\&= \lim_{h \to 0}\frac{\frac{1}{(x+h)^2 + 1} - \frac{1}{x^2 + 1}}{h} \\&= \lim_{h \to 0}\frac{(x^2+1) - [(x+h)^2+1]}{[(x+h)^2+1]\cdot(x^2+1)} \cdot \frac{1}{h} \\&= \lim_{h \to 0}\frac{(x^2+1) - [x^2+h^2+2hx+1]}{[(x+h)^2+1]\cdot(x^2+1)} \cdot \frac{1}{h} \\&= \lim_{h \to 0}\frac{-h^2-2hx}{[(x+h)^2+1]\cdot(x^2+1)} \cdot \frac{1}{h} \\&= \lim_{h \to 0}\frac{h(-h-2x)}{[(x+h)^2+1]\cdot(x^2+1)} \cdot \frac{1}{h} \\&= \lim_{h \to 0}\frac{-h-2x}{[(x+h)^2+1]\cdot(x^2+1)} \\&= \frac{-0-2x}{[(x+0)^2+1]\cdot(x^2+1)} \\&= \frac{-2x}{(x^2+1)\cdot(x^2+1)} \\&= -\frac{2x}{(x^2+1)^2}\end{aligned}$$
Dari dua contoh di atas, terlihat bahwa kita selalu dihadapkan pada limit hasil bagi, dengan pembilang dan penyebut sama-sama menuju nol. Tugas kita adalah melakukan penyederhanan, sehingga faktor $h$ dapat dicoret dari pembilang dan penyebut. Dengan ini, kita dapat menentukan limitnya dengan melakukan substitusi.
Contoh 3
Tentukan turunan pertama dari $f(x)= \sqrt{x}, \: x \ge 0$.
$$\begin{aligned}f'(x) &= \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h} \\&= \lim_{h \to 0}\frac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{h}\end{aligned}$$Agar faktor $h$ dapat dicoret dari pembilang dan penyebut, kita perlu merasionalkan pembilangnya.$$\begin{aligned}f'(x) &= \lim_{h \to 0}\frac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{h} \cdot \frac{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}} \\&= \lim_{h \to 0}\frac{x+h - x}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})} \\&= \lim_{h \to 0}\frac{h}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})} \\&= \lim_{h \to 0}\frac{1}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}\end{aligned}$$
Karena faktor $h$ sudah dicoret dari pembilang dan penyebut, maka nilai limitnya dapat ditentukan dengan substitusi.$$\begin{aligned}f'(x) &= \frac{1}{\sqrt{x+0} + \sqrt{x}} \\&= \frac{1}{2\sqrt{x}}\end{aligned}$$
Selain dengan definisi di atas, turunan suatu fungsi dapat ditentukan dengan bentuk ekuivalen definisi di atas. Perhatikan kembali definisi turunan.$$\begin{aligned}f'(x)= \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h}\end{aligned}$$
Dengan mensubstitusi $h=t-x$ dan $x+h=t$ pada persamaan di atas, diperoleh$$\begin{aligned}f'(x)= \lim_{t-x \to 0}\frac{f(t) - f(x)}{t-x}\end{aligned}$$Selanjutnya, $t-x$ mendekati 0 artinya nilai $t$ mendekati nilai $x$, sehingga diperoleh$$\begin{aligned}f'(x)= \lim_{t \to x}\frac{f(t) - f(x)}{t-x}\end{aligned}$$
Contoh 4
Tentukan turunan pertama dari $f(x)= \frac{x}{x-5}$.
Kita akan menentukan turunannya dengan menggunakan bentuk ekuivalen dari definisi turunan.$$\begin{aligned}f'(x) &= \lim_{t \to x}\frac{f(t) - f(x)}{t-x} \\&= \lim_{t \to x}\frac{\frac{t}{t-5} - \frac{x}{x-5}}{t-x}\end{aligned}$$
Kita belum dapat melakukan substitusi, karena jika t mendekati x, maka nilai pembilang dan penyebut di atas mendekati 0. Kita harus melakukan penyederhanaan, sehingga faktor $(t-x)$ dapat dicoret dari pembilang dan penyebut.$$\begin{aligned}f'(x) &= \lim_{t \to x}\frac{t(x-5) - x(t-5)}{(t-5)(x-5)} \cdot \frac{1}{t-x} \\&= \lim_{t \to x}\frac{tx - 5t - tx + 5x)}{(t-5)(x-5)} \cdot \frac{1}{t-x} \\&= \lim_{t \to x}\frac{- 5t + 5x}{(t-5)(x-5)} \cdot \frac{1}{t-x} \\&= \lim_{t \to x}\frac{- 5(t - x)}{(t-5)(x-5)} \cdot \frac{1}{t-x} \\ &= \lim_{t \to x}\frac{- 5}{(t-5)(x-5)}\end{aligned}$$
Setelah mencoret faktor $(t-x)$, maka nilai limit di atas dapat ditentukan dengan substitusi.$$\begin{aligned}f'(x) &= \frac{- 5}{(x-5)(x-5)} \\&= -\frac{5}{(x-5)^2}\end{aligned}$$