Sekarang kita akan membuktikan turunan $\sin x$ dan turunan $\csc x$.$$\begin{aligned}D_x \left( \sin x \right) &= \cos x \\D_x \left( \csc x \right) &= -\csc x \cot x\end{aligned}$$
Bukti Turunan $\sin x$
Kita mulai dengan definisi turunan.$$D_x \left( \sin x \right) = \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{\sin (x+h) - \sin x}{h}$$
Gunakan rumus jumlah sudut sinus.
Limitnya untuk h menuju 0. Karena $\sin x$ dan $\cos x$ tidak memuat variabel h, maka keduanya dapat dianggap sebagai konstan. Berdasarkan sifat limit kelipatan konstan, diperoleh
Diketahui bahwa $\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{\sin h}{h}=1$ dan $\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{1 - \cos h}{h}=0$, sehingga$$\begin{aligned}D_x \left( \sin x \right) &= \cos x \cdot 1 - \sin x \cdot 0 \\&= \cos x\end{aligned}$$Terbukti.
Kita juga bisa membuktikan dengan cara berikut.$$D_x \left( \sin x \right) = D_x (\cos ( \frac{\pi}{2} - x))$$
Diketahui bahwa $D_x (\cos x) = - \sin x$. Selanjutnya, dengan menggunakan aturan rantai diperoleh$$\begin{aligned}D_x \left( \sin x \right) &= -1 \cdot (- \sin ( \frac{\pi}{2} - x)) \\&= \sin ( \frac{\pi}{2} - x) \\&= \sin \frac{\pi}{2} \cos x - \cos \frac{\pi}{2} \sin x\end{aligned}$$
Diketahui $\sin \frac{\pi}{2} = 1$ dan $\cos \frac{\pi}{2} = 0$.$$\begin{aligned}D_x \left( \sin x \right) &= 1 \cdot \cos x - 0 \cdot \sin x \\&= \cos x\end{aligned}$$
Bukti Turunan $\csc x$
Dengan menggunakan sifat limit perkalian fungsi, diperoleh
Selain cara ini, kita juga bisa membuktikan dengan aturan pembagian.$$\begin{aligned}D_x \left( \csc x \right) &= D_x \left( \frac{1}{\sin x} \right) \\&= \frac{0 \cdot \sin x - (\cos x) \cdot 1}{\left( \sin x \right) ^{2}} \\&= \frac{- \cos x}{\left( \sin x \right) ^{2}} \\&= -\frac{1}{\sin x} \cdot \frac{\cos x}{\sin x} \\&= -\csc x \cdot \cot x\end{aligned}$$Terbukti.