Kombinasi Linear

Dalam tulisan ini, kita akan belajar mengenai kombinasi linear. Kombinasi linear ini akan digunakan dalam mendefinisikan himpunan yang merentang atau membangun suatu ruang vektor

DEFINISI
Sebuah vektor \vec{w} di V disebut sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor \vec{v_1}, \: \vec{v_1}, \cdots , \: \vec{v_r} di V, jika \vec{w} dapat ditulis dalam bentuk:

    \begin{align*} \vec{w} = k_1 \vec{v_1} +k_2 \vec{v_2}+ \cdots k_r \vec{v_r} \end{align*}

dimana k_1 , \: k_2 , \cdots k_r merupakan skalar. Skalar-skalar ini dikatakan sebagai koefisien dari kombinasi linear.

Untuk lebih jelasnya, kita akan membahas beberapa contoh.

CONTOH 1

Periksa apakah (3,5) merupakan kombinasi linear dari S= \{ (1,1),(1,2) \}.

PEMBAHASAN
Untuk menentukan apakah (3,5) merupakan kombinasi linear dari S= \{ (1,1),(1,2) \}, kita harus menemukan skalar-skalar k_1 dan k_2 yang memenuhi:

    \[(3,5) = k_1 (1,1) + k_2 (1,2)\]

Nilai k_1 dan k_2 yang memenuhi adalah k_1 = 1 dan k_2 =2.
Jadi, (3,5) merupakan kombinasi linear dari S= \{ (1,1),(1,2) \}.

CONTOH 2

Periksa apakah (3,5,7) merupakan kombinasi linear dari vektor-vektor \vec{u}=(1,1,2), \vec{v}=(1,0,1), dan \vec{u}=(2,1,3).

PEMBAHASAN
Untuk menentukan apakah (3,5,7) merupakan kombinasi linear dari \vec{u}, \vec{v}, \vec{w}, kita harus menemukan skalar-skalar k_1 ,k_2 ,k_3 yang memenuhi:

    \[(3,5,7) = k_1 \vec{u} + k_2 \vec{v} + k_3 \vec{w}\]

Pertama, kita bentuk sistem persamaan linear yang bersesuaian.

    \begin{align*} (3,5,7) &= k_1(1,1,2)+k_2(1,0,1)+k_3(2,1,3) \\ &= (k_1,k_1,2k_1)+(k_2,0,k_2)+(2k_3,k_3,3k_3) \\ &= (k_1+k_2+2k_3,k_1+k_3,2k_1+k_2+3k_3) \end{align*}

Diperoleh sistem persamaan linear.

    \begin{align*} k_1 +k_2 +2k_3 =3 \\ k_1 +k_3 =5 \\ 2k_1 + k_2 +3k_3 =7 \end{align*}

Matriks yang diperbesar dari sistem persamaan linear di atas adalah

    \begin{align*} \left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 2 & 3\\ 1 & 0 & 1 & 5\\ 2 & 1 & 3 & 7\end{array} \right] \end{align*}

Dengan operasi baris elementer, kita peroleh bentuk eselon baris dari matriks di atas, yaitu.

    \begin{align*} \left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 2 & 3\\ 0 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 2\end{array} \right] \end{align*}

Sistem persamaan yang bersesuaian adalah

    \begin{align*} k_1 + k_2 + 2k_3 =3 \\ k_2 + k_3 =1 \\ 0=2 \end{align*}

Diperoleh 0=2 pada persamaan ketiga, yang jelas bernilai salah.
Jadi, tidak ada skalar k_1 ,k_2 ,k_3 yang memenuhi. Dengan kata lain, (3,5,7) bukan merupakan kombinasi linear dari \{ \vec{u},\vec{v},\vec{w} \}.

CONTOH 3

Periksa apakah 7+8x+9x^2 merupakan kombinasi linear dari polinom-polinom p_1 = 2+x+4x^2, p_2 = 1 -x+3x^2, dan p_3 = 3+2x+5x^2.

PEMBAHASAN
Kita akan menentukan skalar-skalar k_1 ,k_2 ,k_3 yang memenuhi

    \[7+8x+9x^2 = k_1 p_1 + k_2 p_2 + k_3 p_3\]

Pertama, kita bentuk sistem persamaan linearnya.

    \begin{align*} 7+8x+9x^2 &= k_1(2+x+4x^2)+k_2(1-x+3x^2)+k_3(3+2x+5x^2) \\ &= (2k_1+k_1x+4k_1x^2)+(k_2-k_2x+3k_2x^2)+(3k_3+2k_3x+5k_3x^2) \\ &= (2k_1+k_2+3k_3)+(k_1x-k_2x+2k_3x)+(4k_1x^2+3k_2x^2+5k_3x^2) \\ &= (2k_1+k_2+3k_3)+(k_1-k_2+2k_3)x+(4k_1+3k_2+5k_3)x^2 \end{align*}

Diperoleh sistem persamaan linear.

    \begin{align*} 2k_1 +k_2 +3k_3=7 \\ k_1 -k_2 +2k_3=8 \\ 4k_1 +3k_2 +5k_3=9 \end{align*}

Matriks yang diperbesar dari sistem persamaan linear di atas adalah

    \begin{align*} \left[ \begin{array}{rrrr} 2 & 1 & 3 & 7\\ 1 & -1 & 2 & 8\\ 4 & 3 & 5 & 9\end{array} \right] \end{align*}

Kita akan menyelesaikannya dengan eliminasi Gauss-Jordan, yaitu dengan mengubahnya menjadi bentuk eselon baris tereduksi.
Bentuk eselon baris tereduksi dari matriks di atas adalah

    \begin{align*} \left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & -2\\ 0 & 0 & 1 & 3\end{array} \right] \end{align*}

Diperoleh

    \begin{align*} k_1 &= 0 \\ k_2 &= -2 \\ k_3 &= 3 \end{align*}

Jadi, 7+8x+9x^2 merupakan kombinasi linear dari \{ p_1 ,p_2 ,p_3 \}, dengan koefisien kombinasi linear k_1 =0, k_2 =-2, dan k_3 =3.

Semoga bermanfaat! Jika ada yang perlu diperbaiki atau ingin ditanyakan, silakan sampaikan melalui komentar.

You may also like...

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.