Kombinasi Linear
Dalam tulisan ini, kita akan belajar mengenai kombinasi linear. Kombinasi linear ini akan digunakan dalam mendefinisikan himpunan yang merentang atau membangun suatu ruang vektor
Sebuah vektor
di V disebut sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor 
di V, jika dapat ditulis dalam bentuk:
dimana 
merupakan skalar. Skalar-skalar ini dikatakan sebagai koefisien dari kombinasi linear.
Untuk lebih jelasnya, kita akan membahas beberapa contoh.
Periksa apakah 
merupakan kombinasi linear dari 
.
PEMBAHASAN
Untuk menentukan apakah merupakan kombinasi linear dari , kita harus menemukan skalar-skalar 
dan 
yang memenuhi:
![\[(3,5) = k_1 (1,1) + k_2 (1,2)\]](http://www.kimiamath.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-77654b2f1c672a5013b63ded8732c20e_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
Nilai dan yang memenuhi adalah 
dan 
.
Jadi, merupakan kombinasi linear dari .
Periksa apakah 
merupakan kombinasi linear dari vektor-vektor 
, 
, dan 
.
PEMBAHASAN
Untuk menentukan apakah merupakan kombinasi linear dari 
, kita harus menemukan skalar-skalar 
yang memenuhi:
![\[(3,5,7) = k_1 \vec{u} + k_2 \vec{v} + k_3 \vec{w}\]](http://www.kimiamath.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ece1b19fbf5004d275a8711cfdbbf8aa_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
Pertama, kita bentuk sistem persamaan linear yang bersesuaian.
Diperoleh sistem persamaan linear.
Matriks yang diperbesar dari sistem persamaan linear di atas adalah
![\begin{align*} \left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 2 & 3\\ 1 & 0 & 1 & 5\\ 2 & 1 & 3 & 7\end{array} \right] \end{align*}](http://www.kimiamath.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b74708eedcd7c4a9c5dc43f72e9114cf_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
Dengan operasi baris elementer, kita peroleh bentuk eselon baris dari matriks di atas, yaitu.
![\begin{align*} \left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 2 & 3\\ 0 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 2\end{array} \right] \end{align*}](http://www.kimiamath.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9b315626cebb1421a921d471d8f53425_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
Sistem persamaan yang bersesuaian adalah
Diperoleh 
pada persamaan ketiga, yang jelas bernilai salah.
Jadi, tidak ada skalar yang memenuhi. Dengan kata lain, bukan merupakan kombinasi linear dari 
.
Periksa apakah 
merupakan kombinasi linear dari polinom-polinom 
, 
, dan 
.
PEMBAHASAN
Kita akan menentukan skalar-skalar yang memenuhi
![\[7+8x+9x^2 = k_1 p_1 + k_2 p_2 + k_3 p_3\]](http://www.kimiamath.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-349cb076ac4f31f43cf9149f57fa6d66_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
Pertama, kita bentuk sistem persamaan linearnya.
Diperoleh sistem persamaan linear.
Matriks yang diperbesar dari sistem persamaan linear di atas adalah
![\begin{align*} \left[ \begin{array}{rrrr} 2 & 1 & 3 & 7\\ 1 & -1 & 2 & 8\\ 4 & 3 & 5 & 9\end{array} \right] \end{align*}](http://www.kimiamath.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-294e0f9f4590a7107b5b23396aa91f40_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
Kita akan menyelesaikannya dengan eliminasi Gauss-Jordan, yaitu dengan mengubahnya menjadi bentuk eselon baris tereduksi.
Bentuk eselon baris tereduksi dari matriks di atas adalah
![\begin{align*} \left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & -2\\ 0 & 0 & 1 & 3\end{array} \right] \end{align*}](http://www.kimiamath.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8596893897e503abf19fff0b37505152_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
Diperoleh
Jadi, merupakan kombinasi linear dari 
, dengan koefisien kombinasi linear 
, 
, dan 
.
Semoga bermanfaat! Jika ada yang perlu diperbaiki atau ingin ditanyakan, silakan sampaikan melalui komentar.
1 Response
[…] adalah vektor di yang dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor lain di , maka dan membangun ruang yang sama, yaitu […]