Pada postingan sebelumnya, kita telah membahas pembuktian aturan perkalian pada turunan. Sekarang kita akan membuktikan aturan lain yang berlaku pada turunan, yaitu aturan pembagian. Misalkan f dan g adalah fungsi yang terdiferensialkan, dengan $g(x) \neq 0$, maka$$\left( \frac{f}{g} \right)' = \frac{f'(x)g(x) {}- g'(x)f(x)}{g^2(x)}$$

Kita akan membuktikan aturan pembagian ini dengan dua cara, yaitu menggunakan definisi turunan yang melibatkan limit dan menggunakan logaritma natural. Pertama, kita buktikan dengan definisi limit.

Cara 1

Misalkan f dan g adalah fungsi yang terdiferensialkan, dengan $F(x)= \frac{f(x)}{g(x)}$.

pembuktian aturan pembagian

Dengan menggunakan sifat-sifat limit, diperoleh

bukti aturan pembagian

Selanjutnya, kita buktikan dengan logaritma natural.

Cara 2

Misalkan f dan g adalah fungsi yang terdiferensialkan dengan $F(x)= \frac{f(x)}{g(x)}$. Beri logaritma natural pada kedua ruas.$$\ln F(x)= \ln \frac{f(x)}{g(x)}$$

Ingat sifat logaritma natural $\ln \frac{a}{b} = \ln a {}- \ln b$.$$\ln F(x)= \ln f(x) {}- \ln g(x)$$

Turunkan kedua ruas dengan menggunakan aturan rantai.$$\begin{aligned}F'(x) \; \frac{1}{F(x)} &= f'(x) \; \frac{1}{f(x)} {}- g'(x) \; \frac{1}{g(x)} \\F'(x) &= F(x) \left( \frac{f'(x)}{f(x)} {}- \frac{g'(x)}{g(x)} \right)\end{aligned}$$

Ingat $F(x)= \frac{f(x)}{g(x)}$.$$\begin{aligned}F'(x) &= \frac{f(x)}{g(x)} \left( \frac{f'(x)}{f(x)} {}- \frac{g'(x)}{g(x)} \right) \\&= \frac{f(x)}{g(x)} \left( \frac{g(x) f'(x) {}- f(x) g'(x)}{f(x) g(x)} \right) \\&= \frac{g(x)f'(x) {}- f(x)g'(x)}{g^2(x)}\end{aligned}$$Terbukti.