KimiaMath

Bilangan Kompleks: Bentuk Aljabar, Polar, dan Eksponensial

Oleh Aiz — 13 Juni 2019

Kategori: Analisis Kompleks

Bilangan Kompleks: Bentuk Aljabar, Polar, dan Eksponensial

Himpunan bilangan kompleks, dinyatakan sebagai $\mathbb{C}$, merupakan himpunan pasangan berurutan $(x,y)$, dengan $x$ dan $y$ merupakan bilangan real. Pada himpunan $\mathbb{C}$ didefinisikan operasi penjumlahan dan perkalian sebagai berikut. $$\begin{aligned} &(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2,y_1+y_2) \\ &(x_1,y_1) \cdot (x_2,y_2)=(x_1x_2-y_1y_2,x_1y_2+x_2y_1) \end{aligned}$$ untuk setiap bilangan kompleks $(x_1,y_1)$ dan $(x_2,y_2)$.

Bilangan kompleks dapat digambarkan sebagai titik pada bidang kompleks dengan koordinat siku-siku $x$ dan $y$. Sumbu $x$ disebut sumbu real dan sumbu $y$ disebut sumbu imajiner. Berikut adalah contoh bilangan kompleks $(1,0)$, $(0,2)$, dan $(2,3)$ pada bidang kompleks.

Bentuk rectangular bilangan kompleks

Pada bilangan kompleks $z=(x,y)$, bilangan real $x$ disebut bagian real dari $z$, ditulis $x=\text{Re } z$, dan bilangan real $y$ disebut bagian imajiner dari $z$, ditulis $y=\text{Im } z$. Sebagai contoh, pada bilangan kompleks $z=(2,-1)$, bagian realnya adalah $2$ dan bagian imajinernya adalah $-1$. Dalam notasi matematika, ditulis $\text{Re } z=2$ dan $\text{Im } z=-1$.

Bilangan kompleks dalam bentuk $(x,0)$ diidentifikasi sebagai bilangan real $x$, sehingga kita dapat menulis $(x,0)=x$. Sedangkan bilangan kompleks dalam bentuk $(0,y)$ diidentifikasi sebagai $yi$, dengan $i=(0,1)$. Bilangan ini disebut bilangan imajiner sejati.

Misalkan $z=(x,y)$. Dalam hal ini, $z$ dinyatakan dalam bentuk rectangular. Bilangan kompleks $z$ juga dapat dinyatakan dalam bentuk lain, yaitu bentuk aljabar, bentuk polar (bentuk kutub), dan bentuk eksponensial.

Bentuk Aljabar

Misalkan $z=(x,y) \in \mathbb{C}$ sebarang bilangan kompleks. Berdasarkan definisi operasi penjumlahan pada $\mathbb{C}$, kita dapat menyatakan $z=(x,y)$ sebagai $(x,0) + (0,y)$. Sehingga $z=x+yi$. Bentuk ini disebut bentuk aljabar dari bilangan kompleks $z$. Sebagai contoh, bilangan kompleks $(-1,2)$ dan $(1,4)$ secara berturut-turut memiliki bentuk aljabar $-1+2i$ dan $(1+4i)$.

Bentuk Polar

Misalkan $z=(x,y) \in \mathbb{C}$, dengan $z \neq (0,0)$. $r$ adalah panjang vektor radius dari $z$. Vektor radius adalah vektor dari titik $(0,0)$ ke $(x,y)$, Lebih lanjut, r disebut modulus dari $z$, dengan notasi $|z|$. $\theta$ adalah sudut yang terbentuk antara sumbu-x positif dengan vektor radius dari $z$. Perhatikan gambar berikut.

Bentuk polar bilangan kompleks

Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} &\sin \theta = \frac{y}{r} \Rightarrow y=r\sin \theta \quad &\ldots \text{(1)} \\ &\cos \theta = \frac{x}{r} \Rightarrow x=r\cos \theta \quad &\ldots \text{(2)} \end{aligned}$$ Dengan mensubstitusi persamaan (1) dan (2) pada bentuk aljabar $z=x+yi$, diperoleh $$\begin{aligned} z &= (r\cos \theta) + (r\sin \theta)i \\ &= r(\cos \theta + i\sin \theta) \end{aligned}$$

Bentuk ini disebut bentuk polar (bentuk kutub) dari bilangan kompleks $z$. Terdapat tak berhingga banyaknya nilai $\theta$ yang memenuhi. Jika $\theta$ merupakan salah satu sudut yang memenuhi, maka $\theta+2n\pi$ untuk setiap bilangan bulat $n$, juga memenuhi. Setiap nilai $\theta$ ini disebut argumen dari $z$ dan himpunan semua nilai $\theta$ dinyatakan sebagai $\text{arg } z$. Nilai utama dari $\text{arg } z$ yang dinyatakan sebagai $\text{Arg }z$, merupakan nilai tunggal $\Theta$ yang memenuhi $-\pi < \Theta \leq \pi$. Hubungan antara keduanya adalah $$\text{arg }z=\text{Arg }z+2n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}$$ Modulus $z$ dapat ditentukan dengan teorema pythagoras, yaitu $r=|z|=\sqrt{x^2+y^2}$. Adapun nilai $\theta$ diperoleh dari $\tan \theta =\frac{y}{x}$.

Contoh

Tentukan bentuk polar dari bilangan kompleks $z_1=-1+i$.

PEMBAHASAN

Untuk menentukan bentuk polar suatu bilangan kompleks, diperlukan nilai $r$ dan $\theta$. Diketahui $x=-1$ dan $y=1$, sehingga vektor radius dari $z_1$ berada pada kuadran kedua. Modulus dari $z_1$ adalah $$\begin{aligned} r &= \sqrt{x^2+y^2} \\ &= \sqrt{(-1)^2+1^2} \\ &= \sqrt{2} \end{aligned}$$

Nilai $\theta$ dapat dicari dengan rumus berikut. $$\begin{aligned} \tan \theta &= \frac{y}{x} \quad \text{[Kuadran II]} \\ \tan \theta &= \frac{1}{-1} \\ \tan \theta &= -1 \\ \theta &= \frac{3 \pi}{4} \end{aligned}$$ Sehingga bentuk polar dari $z_1$ adalah $$z_1=\sqrt{2} \left( \cos \frac{3 \pi}{4} + i \sin \frac{3 \pi}{4} \right)$$

Sekarang, bagaimana jika kita punya bilangan kompleks dalam bentuk polar dan ingin mengubahnya menjadi bentuk aljabar? Ternyata prosedurnya lebih sederhana dibandingkan mengubah bentuk aljabar menjadi bentuk polar. Misalkan, kita punya bilangan kompleks $z_2=2 \left( \cos \frac{\pi}{6} + i\sin \frac{\pi}{6} \right)$. Untuk mengubah $z_2$ ke bentuk aljabar, kita cukup menentukan nilai $\cos \frac{\pi}{6}$ dan $\sin \frac{\pi}{6}$. Sehingga $$\begin{aligned} z_2 &= 2 \left( \frac{1}{2} \sqrt{3} + \frac{1}{2}i \right) \\ &= \sqrt{3}+i \end{aligned}$$ Bagaimana, sederhana kan?

Bentuk Eksponensial

Bentuk eksponensial merupakan bentuk polar yang ditulis dengan lebih ringkas, berdasarkan formula euler. Untuk setiap bilangan real $x$, berlaku $e^{ix}=\cos x + i\sin x$. $e^{ix}$ juga dapat ditulis sebagai $\text{exp}(ix)$. Sehingga bentuk polar $$z=r(\cos \theta + i\sin \theta)$$ dapat ditulis sebagai $$z=re^{i\theta}=r \cdot \text{exp}(i\theta)$$

Bentuk ini disebut bentuk eksponensial dari bilangan kompleks $z$. Sebagai contoh, bilangan kompleks $z_3=3(\cos \pi +i\sin \pi)$ dapat ditulis dalam bentuk $z_3=3 \cdot \text{exp}(i \pi)$. Berikut adalah contoh lainnya.

Contoh

Tentukan bentuk eksponensial dari bilangan kompleks $z_4=1-\sqrt{3}i$.

PEMBAHASAN

Untuk menyatakan $z_4$ dalam bentuk eksponensial, kita memerlukan nilai $r$ dan $\theta$. Diketahui $x=1$ dan $y=-\sqrt{3}$, sehingga vektor radius dari $z_4$ berada pada kuadran keempat. Modulus dari $z_1$ adalah $$\begin{aligned} r &= \sqrt{x^2+y^2} \\ &= \sqrt{1^2+(-\sqrt{3})^2} \\ &= \sqrt{1+3} \\ &= 2 \end{aligned}$$

Nilai $\theta$ dapat dicari dengan rumus $$\begin{aligned} \tan \theta &= \frac{y}{x} \quad \text{[Kuadran IV]} \\ \tan \theta &= \frac{-\sqrt{3}}{1} \\ \tan \theta &= -\sqrt{3} \\ \theta &= \frac{5 \pi}{3} \end{aligned}$$ Sehingga bentuk eksponensial dari $z_4$ adalah $$z_4=\sqrt{2} \cdot \text{exp} \left( i\frac{5 \pi}{3} \right)$$ Semoga bermanfaat.

Komentar