KimiaMath

Pembuktian Teorema Pythagoras

Oleh Aiz — 22 Juni 2019

Kategori: Matematika Sekolah

Pembuktian Teorema Pythagoras

Teorema Pythagoras menunjukkan hubungan antarsisi pada segitiga siku-siku. Menurut teorema ini, kuadrat sisi miring segitiga siku-siku merupakan jumlah kuadrat kedua sisi lainnya. Jika panjang ketiga sisi segitiga dimisalkan dengan $a$, $b$, dan $c$, dengan $c$ sebagai sisi miring, maka berdasarkan teorema pythagoras: $a^2 + b^2 = c^2$.

teorema pythagoras pada segitiga siku-siku

Dari teorema ini, muncul istilah triple pythagoras. Triple pythagoras adalah tiga buah bilangan yang memenuhi teorema pythagoras, yaitu kuadrat bilangan terbesar sama dengan jumlah kuadrat kedua bilangan lainnya. Atau jika kita hubungkan dengan segitiga siku-siku, triple pythagoras adalah panjang sisi-sisi sebuah segitiga siku-siku.

Teorema ini sangat populer dalam bidang geometri, mungkin anda sudah mempelajarinya sejak Sekolah Dasar (SD), dan terus digunakan pada tingkatan berikutnya. Misalnya pada materi dimensi tiga yang dipelajari pada jenjang SMA, begitu pula pada materi trigonometri.

Meskipun nama teorema ini "Pythagoras", bukan berarti Pythagoras yang pertama kali menemukannya. Sebab teorema ini muncul dan digunakan jauh sebelum masa kehidupan Pythagoras, seperti oleh matematikaman India dan Babilonia. Nama Pythagoras diabadikan sebagai nama teorema, karena dialah yang pertama kali membuktikan kebenaran rumus $a^2 + b^2 = c^2$ secara matematis.

Ada banyak cara untuk membuktikan teorema pythagoras. Dalam tulisan ini, kita akan membuktikan teorema pythagoras dengan dua cara.

Bukti Teorema Pythagoras (Cara 1)

Perhatikan gambar berikut.

pembuktian teorema pythagoras 1

Persegi besar dengan panjang sisi $a + b$ terdiri dari persegi kecil dengan sisi $c$ dan empat segitiga kongruen, sehingga $$\begin{aligned} \left( a+b \right) ^{2} &= c^2 + 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \\ a^2 + b^2 + 2ab &= c^2 + 2ab \end{aligned}$$

Kurangi kedua ruas dengan $2ab$, sehingga diperoleh $a^2 + b^2 = c^2$. Terbukti.

Bukti Teorema Pythagoras (Cara 2)

Perhatikan gambar berikut.

pembuktian teorema pythagoras 2

Ubah konstruksi bangun tersebut menjadi

pembuktian teorema pythagoras 3

pembuktian teorema pythagoras 4

Keempat segitiga di atas tidak mengalami perubahan ukuran, hanya posisinya yang berubah. Jadi, bisa dipastikan bahwa luas persegi warna merah sama dengan jumlah luas persegi warna hijau dan biru. Panjang sisi persegi merah, persegi hijau, dan persegi biru secara berturut-turut adalah $c$, $b$, dan $a$. Dengan demikian, $a^2 + b^2 = c^2$. Terbukti.

Selain kedua cara di atas, masih banyak cara membuktikan teorema pythagoras. Berapa cara yang sudah anda ketahui?

Komentar