Sebelum melangkah ke pembahasan utama, kita perlu mengetahui definisi bilangan rasional dan bilangan irasional. Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dituliskan dalam hasil bagi dua bilangan bulat (pembagi tidak sama dengan nol). Notasi bilangan rasional adalah $\mathbb{Q}$. Sedangkan bilangan irasional adalah bilangan real yang tidak rasional, dengan kata lain bilangan real yang tidak memenuhi syarat bilangan rasional di atas. Bilangan irasional biasanya ditulis dengan notasi pengurangan himpunan, yaitu $\mathbb{R} - \mathbb{Q}$.

Salah satu bahasan menarik di sini adalah jenis bilangan yang terbentuk jika bilangan rasional dan irasional dijumlah atau dikalikan. Berikut ini beberapa teorema yang berkaitan dengan hal di atas.

Teorema

Jika $a$ bilangan rasional dan $b$ bilangan irasional maka $a+b$ adalah bilangan irasional

Bukti

Kita akan membuktikan teorema dengan kontradiksi. Andaikan pernyataan ini bernilai salah. Sehingga ingkarannya bernilai benar, yaitu

$a$ bilangan rasional dan $b$ bilangan irasional tetapi $a+b$ adalah bilangan rasional

Berdasarkan definisi bilangan rasional, kita dapat menulis $a$ sebagai $\frac{p}{q}$ dan $a+b$ sebagai $\frac{r}{s}$, untuk suatu bilangan bulat $p$, $q$, $r$, dan $s$ dengan $q,s \neq 0$. Perhatikan bahwa$$\begin{aligned}\frac{p}{q}+b &= \frac{r}{s} \\b &= \frac{r}{s} - \frac{p}{q} \\b &= \frac{qr - ps}{qs}\end{aligned}$$

Hasil kali dan jumlah dua bilangan bulat adalah bilangan bulat, sehingga $qr-ps$ dan $qs$ adalah bilangan bulat. Selain itu, $q,s \neq 0$ berakibat $qs \neq 0$. Akibatnya, $b$ dapat ditulis sebagai hasil bagi dua bilangan bulat, dengan penyebut tak nol. Dengan demikian, $b$ merupakan bilangan rasional. Kontradiksi dengan pernyataan semula bahwa $b$ bilangan irasional. Terbukti.

Teorema

Jika $a$ bilangan rasional dan $b$ bilangan irasional maka $a \cdot b$ adalah bilangan irasional

Bukti

Kita akan membuktikan teorema dengan kontradiksi. Andaikan pernyataan ini bernilai salah. Sehingga ingkarannya bernilai benar, yaitu

$a$ bilangan rasional dan $b$ bilangan irasional tetapi $a \cdot b$ adalah bilangan rasional

Berdasarkan definisi bilangan rasional, kita dapat menulis $a$ sebagai $\frac{p}{q}$ dan $a \cdot b$ sebagai $\frac{r}{s}$, untuk suatu bilangan bulat $p$, $q$, $r$, dan $s$ dengan $q,s \neq 0$. Perhatikan bahwa$$\begin{aligned}\frac{p}{q} \cdot b &= \frac{r}{s} \\b &= \frac{r}{s} \cdot \frac{q}{p} \\b &= \frac{qr}{ps}\end{aligned}$$

Hasil kali dua bilangan bulat adalah bilangan bulat, sehingga $qr$ dan $ps$ adalah bilangan bulat. Selain itu, $q,s \neq 0$ berakibat $qs \neq 0$. Akibatnya, $b$ dapat ditulis sebagai hasil bagi dua bilangan bulat, dengan penyebut tak nol. Dengan demikian, $b$ merupakan bilangan rasional. Kontradiksi dengan pernyataan semula bahwa $b$ bilangan irasional. Terbukti.

Berdasarkan teorema di atas, kita tahu bahwa hasil kali atau hasil jumlah antara bilangan rasional dan bilangan irasional adalah bilangan irasional. Pertanyaan selanjutnya yang mungkin muncul adalah

"Apakah ada bilangan irasional yang jika dijumlah atau dikali dengan bilangan irasional lain menghasilkan bilangan rasional?"

Jawabannya ya, jumlah dua bilangan irasional bisa berupa bilangan rasional atau bilangan irasional, tergantung bilangan irasional yang kita jumlahkan. Hal yang sama juga berlaku pada operasi perkalian. Perhatikan contoh berikut.

  1. $\pi + (- \pi) = 0$
  2. $\sqrt{2} + \sqrt{2} = 2 \sqrt{2}$
  3. $\sqrt{2} \times \sqrt{8} =4$
  4. $\sqrt{3} \times \pi = \pi \sqrt{3}$

Pada contoh 2 dan 4, diperoleh jumlah dan hasil kali yang tetap bilangan irasional. Contoh 1 dan 3 menunjukkan bahwa dalam beberapa kasus, jumlah dan hasil kali antar bilangan irasional bisa berupa bilangan rasional.