KimiaMath

Konjugat (sekawan) dari Bilangan Kompleks

Oleh Aiz — 13 Juni 2019

Kategori: Analisis Kompleks

Konjugat (sekawan) dari Bilangan Kompleks

Misalkan $z=(x,y)=x+yi \in \mathbb{C}$. Konjugat dari bilangan kompleks $z$ didefinisikan sebagai $(x,-y)=x-yi$, dengan notasi $\overline{z}$. Konjugat dari $z$ dapat dipandang sebagai hasil pencerminan $z$ terhadap sumbu real pada bidang kompleks. Sebagai contoh, konjugat dari bilangan kompleks $z_1=(-2,5)$ adalah $\overline{z_1}=(-2,-5)$. Dan konjugat dari bilangan kompleks $z_2=3-2i$ adalah $\overline{z_2}=3+2i$.

Konjugat (sekawan) dari bilangan kompleks

Berikut adalah beberapa sifat yang berkaitan dengan konjugat dari bilangan kompleks.

Sifat 1

$z=\overline{z}$ jika dan hanya jika $z \in \mathbb{R}$.

Bukti

Ambil sebarang $z \in \mathbb{C}$. Tulis $z=a+bi$, dengan $a,b \in \mathbb{R}$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} z &= \overline{z} \\ a+bi &= a-bi \\ bi &= -bi \\ 2bi &= 0 \end{aligned}$$ Kondisi di atas terjadi hanya jika $b=0$. Akibatnya $z=a+0\cdot i=a \in \mathbb{R}$ Terbukti.

Sifat 2

Untuk setiap bilangan kompleks $z$, berlaku $z=\overline{\overline{z}}$.

BUKTI

Ambil sebarang $z \in \mathbb{C}$. Tulis $z=a+bi$, dengan $a,b \in \mathbb{R}$. Perhatikan bahwa $\overline{z}=a-bi$, sehingga $$\overline{\overline{z}}=a-(-bi)=a+bi=z$$ Terbukti.

Sifat 3

Untuk setiap bilangan kompleks $z$, $z \cdot \overline{z}$ merupakan bilangan real non negatif.

BUKTI

Ambil sebarang $z \in \mathbb{C}$. Tulis $z=a+bi$, dengan $a,b \in \mathbb{R}$. Perhatikan bahwa $$z \cdot \overline{z} = (a+bi)(a-bi) = a^2+b^2$$ Untuk setiap bilangan real $x$, berlaku $x^2 \geq 0$. Sehingga $a^2 \geq 0$ dan $b^2 \geq 0$, yang berakibat $a^2+b^2 \geq 0$. Jadi $$z \cdot \overline{z} \geq 0$$ Terbukti bahwa $z \cdot \overline{z}$ merupakan bilangan real non negatif.

Sifat 4

Untuk setiap bilangan kompleks $z_1$ dan $z_2$, berlaku $\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}$.

BUKTI

Ambil sebarang $z_1,z_2 \in \mathbb{C}$. Tulis $z_1=a+bi$ dan $z_2=c+di$, dengan $a,b,c,d \in \mathbb{R}$. Perhatikan bahwa $$z_1+z_2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$$ Sehingga $$\begin{aligned} \overline{z_1+z_2} &= (a+c)-(b+d)i \\ &= a+c-bi-di \\ &= (a-bi)+(c-di) \\ &= \overline{z_1}+\overline{z_2} \end{aligned}$$ Terbukti.

Sifat 5

Untuk setiap bilangan kompleks $z_1$ dan $z_2$, berlaku $\overline{z_1 \cdot z_2}=\overline{z_1} \cdot \overline{z_2}$.

BUKTI

Ambil sebarang $z_1,z_2 \in \mathbb{C}$. Tulis $z_1=a+bi$ dan $z_2=c+di$, dengan $a,b,c,d \in \mathbb{R}$. Perhatikan bahwa $$z_1 \cdot z_2 = (a+bi) \cdot (c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$$ Sehingga $$\begin{aligned} \overline{z_1 \cdot z_2} &= (ac-bd)-(ad+bc)i \\ &= (a-bi) \cdot (c-di) \\ &= \overline{z_1} \cdot \overline{z_2} \end{aligned}$$ Terbukti.

Sifat 6

Untuk setiap bilangan kompleks $z \neq 0$, berlaku $\overline{z^{-1}}=\overline{z} \, ^{-1}$.

BUKTI

Ambil sebarang $z \neq 0 \in \mathbb{C}$. Diketahui $z \neq 0$, berarti terdapat $z^{-1} \in \mathbb{C}$ sehingga $z \cdot z^{-1}=1$.

Untuk membuktikan sifat ini, coba perhatikan analogi berikut.
$a$ merupakan invers dari $b$, dan ingin dibuktikan bahwa $a=c$. Ini dapat dilakukan dengan menunjukkan bahwa $c$ juga invers dari $b$. Karena invers bersifat tunggal, maka kedua invers dari $b$ haruslah sama, yaitu $a=c$.

Dalam hal ini, diketahui $\overline{z} \, ^{-1}$ adalah invers dari $\overline{z}$. Untuk menunjukkan bahwa $\overline{z} \, ^{-1}=\overline{z^{-1}}$, kita cukup menunjukkan bahwa $\overline{z^{-1}}$ juga invers dari $\overline{z}$.

Perhatikan bahwa $\overline{z} \cdot \overline{z^{-1}}=\overline{z \cdot z^{-1}}$, berdasarkan sifat 5. Selanjutnya, $z^{-1}$ merupakan invers dari $z$, sehingga $$\overline{z} \cdot \overline{z^{-1}}=\overline{z \cdot z^{-1}}=\overline{1}$$ Ingat bahwa konjugat dari bilangan real adalah bilangan real itu sendiri, sehingga $\overline{z} \cdot \overline{z^{-1}}=1$. Artinya $\overline{z^{-1}}$ adalah invers dari $\overline{z}$. Berdasarkan definisi, invers dari $\overline{z}$ adalah invers dari $\overline{z} \, ^{-1}$. Karena invers suatu elemen bersifat tunggal, maka haruslah $\overline{z^{-1}}=\overline{z} \, ^{-1}$. Terbukti.

Sifat 7

Untuk setiap bilangan kompleks $z_1,z_2$, dengan $z_2 \neq 0$, berlaku $$\overline{\left( \frac{z_1}{z_2} \right)}=\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}$$

BUKTI

Ambil sebarang $z_1,z_2 \in \mathbb{C}$, dengan $z_2 \neq 0$.

Untuk membuktikan sifat ini, kita perlu mengingat bahwa $$\frac{1}{z}=z^{-1}$$

Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} \overline{\left( \frac{z_1}{z_2} \right)} &= \overline{\left( z_1 \cdot \frac{1}{z_2} \right)} \\ &= \overline{\left( z_1 \cdot z_2^{-1} \right)} \end{aligned}$$ Berdasarkan sifat 5, diperoleh $$\overline{\left( \frac{z_1}{z_2} \right)} = \overline{\left( z_1 \cdot z_2^{-1} \right)} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2^{-1}}$$ Berdasarkan sifat 6, diperoleh $\overline{z_2^{-1}}=\overline{z_2}^{-1}$, sehingga $$\begin{aligned} \overline{\left( \frac{z_1}{z_2} \right)} &= \overline{z_1} \cdot \overline{z_2^{-1}} \\ &= \overline{z_1} \cdot \overline{z_2}^{-1} \\ &= \overline{z_1} \cdot \frac{1}{\overline{z_2}} \\ &= \frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}} \end{aligned}$$ Terbukti.

Sifat 8

Untuk setiap bilangan kompleks $z$, berlaku $$\text{Re }z = \frac{z+\overline{z}}{2} \text{ dan } \text{Im }z = \frac{z-\overline{z}}{2i}$$

BUKTI

Ambil sebarang $z \in \mathbb{C}$. Tulis $z=a+bi$, dengan $a,b \in \mathbb{R}$. Konjugat dari $z$ adalah $\overline{z}=a-bi$. Dengan menjumlahkan $z$ dan $\overline{z}$, diperoleh $$\begin{aligned} z+\overline{z} &= 2a \\ \frac{z+\overline{z}}{2} &= a \\ \frac{z+\overline{z}}{2} &= \text{Re }z \end{aligned}$$ Dengan mengurangkan $\overline{z}$ dari $z$, diperoleh $$\begin{aligned} z-\overline{z} &= 2bi \\ \frac{z-\overline{z}}{2i} &= b \\ \frac{z-\overline{z}}{2i} &= \text{Im }z \end{aligned}$$ Terbukti.

Contoh 1

Nyatakan bilangan kompleks $$\frac{-1+3i}{2-i}$$ dalam bentuk paling sederhana.

Pembahasan

Bilangan kompleks disebut sederhana jika berada dalam bentuk $a+bi$, dengan $a,b \in \mathbb{R}$. Bilangan kompleks pada soal dinyatakan dalam hasil bagi dua bilangan kompleks lainnya. Agar lebih sederhana, penyebutnya harus berupa bilangan real.

Ingat, berdasarkan sifat 2, $z \cdot \overline{z}$ merupakan bilangan real. Jadi, untuk menyederhanakan bilangan kompleks pada soal, kita perlu mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan konjugat dari penyebut.

Kalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat dari $2-i$, yaitu $2+i$. $$\begin{aligned} \frac{-1+3i}{2-i} &= \frac{-1+3i}{2-i} \cdot \frac{2+i}{2+i} \\ &= \frac{-2-3+6i-i}{4+1} \\ &= \frac{-5+5i}{5} \\ &= -1+i \end{aligned}$$

Contoh 2

Buktikan bahwa $z_1 \cdot \overline{z_2}+\overline{z_1} \cdot z_2 \in \mathbb{R}$, untuk setiap bilangan kompleks $z_1$ dan $z_2$.

Pembahasan

Ingat kembali sifat 1. $z=\overline{z}$ jika dan hanya jika $z \in \mathbb{R}$ Sehingga, untuk menunjukkan bahwa $z_1 \overline{z_2}+\overline{z_1} z_2 \in \mathbb{R}$, kita cukup menunjukkan bahwa bilangan kompleks tersebut sama dengan konjugatnya, yaitu $$\overline{z_1 \cdot \overline{z_2}+\overline{z_1} \cdot z_2}=z_1 \cdot \overline{z_2}+\overline{z_1} \cdot z_2$$

Ambil sebarang $z_1,z_2 \in \mathbb{C}$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} \overline{z_1 \cdot \overline{z_2}+\overline{z_1} \cdot z_2} &= \overline{z_1 \cdot \overline{z_2}}+\overline{\overline{z_1} \cdot z_2} \quad \text{[Sifat 4]} \\ &= \overline{z_1} \cdot \overline{\overline{z_2}} + \overline{\overline{z_1}} \cdot \overline{z_2} \quad \text{[Sifat 5]} \\ &= \overline{z_1} \cdot z_2 + z_1 \cdot \overline{z_2} \quad \text{[Sifat 2]} \\ &= z_1 \cdot \overline{z_2}+\overline{z_1} \cdot z_2 \quad \text{[Sifat Komutatif]} \end{aligned}$$ Berdasarkan sifat 1, diperoleh $z_1 \cdot \overline{z_2}+\overline{z_1} \cdot z_2 \in \mathbb{R}$. Terbukti.

Contoh 3

Buktikan bahwa $(2+i\sqrt{5})^7+(2-i\sqrt{5})^7 \in \mathbb{R}$.

Pembahasan

Serupa dengan contoh sebelumnya, kita perlu menunjukkan bahwa $(2+i\sqrt{5})^7+(2-i\sqrt{5})^7$ sama dengan nilai konjugatnya. Selain itu, juga diperlukan sifat berikut:

Sifat 9

Untuk setiap bilangan bulat $n$ dan bilangan kompleks $z$, berlaku $$\overline{z^n}=\overline{z} \, ^n$$

Sifat ini dapat dibuktikan dengan menggunakan induksi matematika dan sifat 5

Agar lebih sederhana, kita misalkan $2+i\sqrt{5}=z$, sehingga $2-i\sqrt{5}=\overline{z}$. Untuk membuktikan bahwa $$(2+i\sqrt{5})^7+(2-i\sqrt{5})^7 =z^7+\overline{z} \, ^7 \in \mathbb{R}$$ kita perlu menunjukkan bahwa $z^7+\overline{z} \, ^7$ sama dengan nilai konjugatnya. Perhatikan bahwa $$\begin{alignedat}{2} \overline{z^7+\overline{z} \, ^7} &= \overline{z^7+\overline{z^7}} \quad &\text{[Sifat 9]} \\ &= \overline{z^7}+\overline{\overline{z^7}} \quad &\text{[Sifat 4]} \\ &= \overline{z^7}+z^7 \quad &\text{[Sifat 2]} \\ &= \overline{z} \, ^7+z^7 \quad &\text{[Sifat 9]} \\ &= z^7+\overline{z} \, ^7 \quad &\text{[Sifat Komutatif]} \end{alignedat}$$ Berdasarkan sifat 1, diperoleh $$z^7+\overline{z^7}=(2+i\sqrt{5})^7+(2-i\sqrt{5})^7 \in \mathbb{R}$$ Terbukti.

Komentar