KimiaMath

Pembuktian Rumus Luas Segitiga

Oleh Aiz — 22 Juni 2019

Kategori: Geometri

Pembuktian Rumus Luas Segitiga

Segitiga merupakan bangun datar yang terbentuk dari tiga titik yang tidak segaris. Segitiga memiliki tiga sisi dan tiga sudut. Berdasarkan panjang sisinya, segitiga dapat dikelompokkan ke dalam tiga jenis, yaitu segitiga sama sisi, segitiga sama kaki, dan segitiga sembarang. Segitiga sama sisi memiliki sisi-sisi yang sama panjang dan sudut-sudut yang sama besar. Besar ketiga sudut pada segitiga sama sisi adalah $60^{\circ}$. Segitiga sama kaki memiliki sepasang sisi yang sama panjang, dan sudut kaki yang sama besar. Sedangkan segitiga sembarang memiliki panjang sisi yang berbeda-beda.

Berdasarkan besar sudutnya, segitiga juga dapat dikelompokkan ke dalam tiga jenis, yaitu segitiga siku-siku, segitiga lancip, dan segitiga tumpul. Segitiga siku-siku adalah segitiga memiliki sebuah sudut siku-siku, besarnya $90^{\circ}$. Segitiga lancip adalah segitiga yang ketiga sudutnya lancip, besarnya kurang dari $90^{\circ}$. Sedangkan segitiga tumpul adalah segitiga yang salah satu sudutnya tumpul. Besar sudut tumpul lebih dari $90^{\circ}$. Apapun jenisnya, jumlah ketiga sudut pada sebuah segitiga adalah $180^{\circ}$.

Dalam tulisan ini, kita akan membuktikan rumus luas segitiga. Jika $a$ menyatakan panjang alas segitiga dan $t$ menyatakan tinggi segitiga, maka luas segitiga tersebut dapat dihitung dengan rumus berikut. $$\text{L} = \frac{1}{2} \cdot \text{alas} \cdot \text{tinggi} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t$$

Rumus ini digunakan jika panjang alas dan tinggi segitiga diketahui. Jika diketahui komponen segitiga lainnya, misalnya dua sisi dan sudut yang diapit, maka luas segitiga dapat dihitung dengan menggunakan rumus yang berkaitan dengan trigonometri. Sedangkan, jika diketahui panjang ketiga sisi segitiga, maka luas segitiga dapat dihitung dengan formula heron.

Pembuktian rumus luas segitiga dibagi menjadi tiga kasus.

Pembuktian Rumus Luas Segitiga Siku-siku

Perhatikan persegi panjang $\text{ABCD}$ berikut. Ruas garis $\text{BD}$ membagi $\text{ABCD}$ menjadi dua segitiga kongruen, yaitu segitiga $\text{ABD}$ dan segitiga $\text{BCD}$.

pembuktian rumus luas segitiga siku-siku

Luas persegi panjang dapat dihitung dengan rumus $\text{L}=\text{panjang} \times \text{lebar}$, sehingga $$\begin{aligned} \text{L ABCD} &= \text{L ABD} + \text{L BCD} \\ \text{AD} {}\cdot \text{AB} &= \text{L ABD} + \text{L BCD} \end{aligned}$$

Segitiga $\text{BCD}$ dan $\text{ABD}$ merupakan dua segitiga yang kongruen, sehingga $\text{L BCD}=\text{L ABD}$. $$\begin{aligned} \text{AD} {}\cdot \text{AB} &= 2 \cdot \text{L ABD} \\ \text{L ABD} &= \frac{1}{2} \cdot \text{AD} \cdot \text{AB} \end{aligned}$$

Pada segitiga $\text{ABD}$, $\text{AB}$ dan $\text{AD}$ secara berturut-turut merupakan alas dan tinggi segitiga. Dengan demikian, terbukti bahwa. $$\text{L} = \frac{1}{2} \cdot \text{alas} \cdot \text{tinggi} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t$$

Pembuktian Rumus Luas Segitiga Sama Kaki

Perhatikan segitiga $\text{ABC}$ berikut.

pembuktian rumus luas segitiga sama kaki

Lukis garis tinggi $\text{CD}$ dari titik sudut $\text{C}$.

garis tinggi pada segitiga sama kaki

Ruas garis $\text{CD}$ membagi segitiga $\text{ABC}$ menjadi segitiga siku-siku $\text{ADC}$ dan $\text{BCD}$. Luas segitiga siku-siku dapat dihitung dengan rumus yang telah dibuktikan pada bagian sebelumnya. $$\begin{aligned} \text{L ABC} &= \text{L ADC} + \text{L BCD} \\ &= \left( \frac{1}{2} \cdot \text{AD} \cdot \text{CD} \right) + \left( \frac{1}{2} \cdot \text{BD} \cdot \text{CD} \right) \\ &= \frac{1}{2} \cdot \text{CD} \cdot \left( \text{AD} + \text{BD} \right) \\ &= \frac{1}{2} \cdot \text{CD} \cdot \text{AB} \end{aligned}$$

Pada segitiga $\text{ABC}$, $\text{AB}$ dan $\text{CD}$ secara berturut-turut merupakan alas dan tinggi segitiga. Dengan demikian, terbukti bahwa. $$\text{L} = \frac{1}{2} \cdot \text{alas} \cdot \text{tinggi} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t$$

Pembuktian Rumus Luas Segitiga Sembarang

Perhatikan segitiga $\text{ABC}$ berikut.

pembuktian rumus luas segitiga sembarang

Segitiga $\text{ABC}$ adalah segitiga sembarang dengan sebuah sudut tumpul di B. Lukis garis tinggi segitiga sembarang dari titik sudut $C$.

garis tinggi pada segitiga sembarang

Dari gambar, terlihat bahwa luas segitiga $\text{ACD}$ sama dengan jumlah luas segitiga $\text{ABC}$ dan segitiga $\text{BCD}$. Luas segitiga $\text{BCD}$ dan $\text{ACD}$ dapat dihitung dengan rumus luas segitiga siku-siku yang telah dibuktikan. $$\begin{aligned} \text{L ABC} &= \text{L ACD} {}-{} \text{L BCD} \\ &= \left( \frac{1}{2} \cdot \text{AD} \cdot \text{CD} \right) {}-{} \left( \frac{1}{2} \cdot \text{BD} \cdot \text{CD} \right) \\ &= \frac{1}{2} \cdot \text{CD} \cdot \left( \text{AD} {}- \text{BD} \right) \\ &= \frac{1}{2} \cdot \text{CD} \cdot \text{AB} \end{aligned}$$

Pada segitiga $\text{ABC}$, $\text{AB}$ dan $\text{CD}$ secara berturut-turut merupakan alas dan tinggi segitiga. Dengan demikian, terbukti bahwa. $$\text{L} = \frac{1}{2} \cdot \text{alas} \cdot \text{tinggi} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t$$

Komentar