Ruang Vektor

Sebelum masuk ke pembahasan, saya ingin menegaskan bahwa pembahasan kita pada artikel ini terbatas pada ruang vektor atas lapangan $\mathbb{R}$. Dengan kata lain, kita akan membahas mengenai ruang vektor dengan skalar-skalar real, atau disebut ruang vektor real.

DEFINISI

Salah satu hal yang perlu diperhatikan saat mengecek apakah suatu himpunan merupakan ruang vektor, adalah operasi yang berlaku pada himpunan tersebut. Operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar yang berlaku tidak disyaratkan sama dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar biasa (standar), terkadang operasi yang berlaku pada suatu himpunan didefinisikan sendiri.

Misalnya operasi penjumlahan dan perkalian skalar standar pada $\mathbb{R}^2$ adalah$$\begin{aligned}(u_1 , u_2) + (v_1 , v_2) &= (u_1 + v_1 , u_2 + v_2) \\k(u_1 , u_2) &= (ku_1 , ku_2)\end{aligned}$$Tetapi kedua operasi ini juga bisa didefinisikan sendiri, misalnya$$\begin{aligned}(u_1 , u_2) + (v_1 , v_2) &= (u_1 + v_1 - 1 , u_2 + v_2 - 1) \\k(u_1 , u_2) &= (0 , ku_2)\end{aligned}$$

Selain itu, objek $\vec{0}$ dan $- \vec{u}$ tidak selalu sama dengan vektor nol dan negatif dari vektor yang selama ini kita kenal, misalnya $\vec{0} = (0,0,...,0)$ dan $- \vec{u} = ( -u_1 , -u_2, ..., -u_n )$ pada $\mathbb{R}^n$ dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar standar. Kedua vektor ini bergantung pada operasi penjumlahan dan perkalian skalar yang berlaku pada himpunan tersebut.

CONTOH 1

Periksa apakah himpunan V yang berisi semua matriks $2 \times 2$ dengan entri-entri bilangan real merupakan ruang vektor, jika operasi penjumlahan dan perkalian skalar yang berlaku adalah operasi standar pada matriks.

Ambil sebarang $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \in V$ dan $k,m \in \mathbb{R}$. Tulis$$\begin{aligned}\vec{u} &= \left[ \begin{array}{rr} u_1 & u_2\\ u_3 & u_4\end{array} \right] , \quad u_1 , u_2 , u_3, u_4 \in \mathbb{R} \\\vec{v} &= \left[ \begin{array}{rr} v_1 & v_2\\ v_3 & v_4\end{array} \right] , \quad v_1 , v_2 , v_3, v_4 \in \mathbb{R} \\\vec{w} &= \left[ \begin{array}{rr} w_1 & w_2\\ w_3 & w_4\end{array} \right] , \quad w_1 , w_2 , w_3, w_4 \in \mathbb{R}\end{aligned}$$

Aksioma 1

$$\begin{aligned}\vec{u} + \vec{v} &= \left[ \begin{array}{rr} u_1 & u_2\\ u_3 & u_4\end{array} \right] + \left[ \begin{array}{rr} v_1 & v_2\\ v_3 & v_4\end{array} \right] \\&= \left[ \begin{array}{rr} u_1 + v_1 & u_2 + v_2\\ u_3 + v_3 & u_4 + v_4\end{array} \right]\end{aligned}$$Bilangan real bersifat tertutup terhadap operasi penjumlahan, sehingga$$\begin{aligned}u_1 + v_1 , \: u_2 + v_2 , \: u_3 + v_3 , \: u_4 + v_4 \in \mathbb{R}\end{aligned}$$Karena entri-entrinya merupakan bilangan real, maka $\vec{u} + \vec{v} \in V$.

Aksioma 2

$$\begin{aligned}\vec{u} + \vec{v} &= \left[ \begin{array}{rr} u_1 & u_2\\ u_3 & u_4\end{array} \right] + \left[ \begin{array}{rr} v_1 & v_2\\ v_3 & v_4\end{array} \right] \\&= \left[ \begin{array}{rr} u_1 + v_1 & u_2 + v_2\\ u_3 + v_3 & u_4 + v_4\end{array} \right]\end{aligned}$$Pada bilangan real, berlaku sifat komutatif, sehingga$$\begin{aligned}\vec{u} + \vec{v} &= \left[ \begin{array}{rr} v_1 + u_1 & v_2 + u_2\\ v_3 + u_3 & v_4 + u_4\end{array} \right] \\&= \left[ \begin{array}{rr} v_1 & v_2\\ v_3 & v_4\end{array} \right] + \left[ \begin{array}{rr} u_1 & u_2\\ u_3 & u_4\end{array} \right] \\&= \vec{v} + \vec{u}\end{aligned}$$

Aksioma 3

$$\begin{aligned}\vec{u}+(\vec{v}+\vec{w}) &= \left[ \begin{array}{rr} u_1 & u_2\\ u_3 & u_4\end{array} \right] + \left( \left[ \begin{array}{rr} v_1 & v_2\\ v_3 & v_4\end{array} \right] + \left[ \begin{array}{rr} w_1 & w_2\\ w_3 & w_4\end{array} \right] \right) \\&= \left[ \begin{array}{rr} u_1 & u_2\\ u_3 & u_4\end{array} \right] + \left[ \begin{array}{rr} v_1+w_1 & v_2+w_2\\ v_3+w_3 & v_4+w_4\end{array} \right] \\&= \left[ \begin{array}{rr} u_1+(v_1+w_1) & u_2+(v_2+w_2)\\ u_3+(v_3+w_3) & u_4+(v_4+w_4)\end{array} \right]\end{aligned}$$Pada bilangan real berlaku sifat asosiatif, sehingga$$\begin{aligned}\vec{u}+(\vec{v}+\vec{w}) &= \left[ \begin{array}{rr} (u_1+v_1)+w_1 & (u_2+v_2)+w_2\\ (u_3+v_3)+w_3 & (u_4+v_4)+w_4\end{array} \right] \\&= \left[ \begin{array}{rr} u_1+v_1 & u_2+v_2\\ u_3+v_3 & u_4+v_4\end{array} \right] + \left[ \begin{array}{rr} w_1 & w_2\\ w_3 & w_4\end{array} \right] \\&= \left( \left[ \begin{array}{rr} u_1 & u_2\\ u_3 & u_4\end{array} \right] + \left[ \begin{array}{rr} v_1 & v_2\\ v_3 & v_4\end{array} \right] \right) + \left[ \begin{array}{rr} w_1 & w_2\\ w_3 & w_4\end{array} \right] \\&= (\vec{u}+\vec{v})+\vec{w}\end{aligned}$$

Aksioma 4

Terdapat $\vec{0} = \left[ \begin{array}{rr} 0 & 0\\ 0 & 0\end{array} \right] \in V$, sedemikian sehingga$$\begin{aligned}\vec{u} + \vec{0} &= \left[ \begin{array}{rr} u_1 & u_2\\ u_3 & u_4\end{array} \right] + \left[ \begin{array}{rr} 0 & 0\\ 0 &0\end{array} \right] \\&= \left[ \begin{array}{rr} u_1 + 0 & u_2 + 0\\ u_3 + 0 & u_4 + 0\end{array} \right] \\&= \left[ \begin{array}{rr} u_1 & u_2\\ u_3 & u_4\end{array} \right] \\&= \vec{u}\end{aligned}$$

Aksioma 5

Untuk setiap $\vec{u}$, terdapat $- \vec{u} = \left[ \begin{array}{rr} -u_1 & -u_2\\ -u_3 & -u_4\end{array} \right] \in V$, sedemikian sehingga$$\begin{aligned}\vec{u} + (- \vec{u}) &= \left[ \begin{array}{rr} u_1 & u_2\\ u_3 & u_4\end{array} \right] + \left[ \begin{array}{rr} -u_1 & -u_2\\ -u_3 & -u_4\end{array} \right] \\&= \left[ \begin{array}{rr} u_1 + (-u_1) & u_2 + (-u_2)\\ u_3 + (-u_3)& u_4 + (-u_4)\end{array} \right] \\&= \left[ \begin{array}{rr} 0 & 0\\ 0 & 0\end{array} \right] \\&= \vec{0}\end{aligned}$$

Aksioma 6

$$\begin{aligned}k \vec{u} &= k \left[ \begin{array}{rr} u_1 & u_2\\ u_3 & u_4\end{array} \right] \\&= \left[ \begin{array}{rr} ku_1 & ku_2\\ ku_3 & ku_4\end{array} \right]\end{aligned}$$Bilangan real bersifat tertutup terhadap operasi perkalian, sehingga $ku_1 , \: ku_2 , \: ku_3 , \: ku_4 \in \mathbb{R}$.Karena entri-entrinya merupakan bilangan real, maka $k \vec{u} \in V$.

Aksioma 7

$$\begin{aligned}k( \vec{u} + \vec{v} ) &= k \left( \left[ \begin{array}{rr} u_1 & u_2\\ u_3 & u_4\end{array} \right] + \left[ \begin{array}{rr} v_1 & v_2\\ v_3 & v_4\end{array} \right] \right) \\&= k \left[ \begin{array}{rr} u_1 + v_1 & u_2 + v_2\\ u_3 + v_3 & u_4 + v_4\end{array} \right] \\&= \left[ \begin{array}{rr} k(u_1 + v_1) & k(u_2 + v_2)\\ k(u_3 + v_3) & k(u_4 + v_4)\end{array} \right] \\&= \left[ \begin{array}{rr} ku_1 + kv_1 & ku_2 + kv_2\\ ku_3 + kv_3 & ku_4 + kv_4\end{array} \right] \\&= \left[ \begin{array}{rr} ku_1 & ku_2\\ ku_3 & ku_4\end{array} \right] + \left[ \begin{array}{rr} kv_1 & kv_2\\ kv_3 & kv_4\end{array} \right] \\&= k \left[ \begin{array}{rr} u_1 & u_2\\ u_3 & u_4\end{array} \right] + k \left[ \begin{array}{rr} v_1 & v_2\\ v_3 & v_4\end{array} \right] \\&= k \vec{u} + k \vec{v}\end{aligned}$$

Aksioma 8

$$\begin{aligned}(k+m) \vec{u} &= (k+m) \left[ \begin{array}{rr} u_1 & u_2\\ u_3 & u_4\end{array} \right] \\&= \left[ \begin{array}{rr} (k+m)u_1 & (k+m)u_2\\ (k+m)u_3 & (k+m)u_4\end{array} \right] \\&= \left[ \begin{array}{rr} ku_1 + mu_1 & ku_2 + mu_2\\ ku_3 + mu_3 & ku_4 + mu_4\end{array} \right] \\&= \left[ \begin{array}{rr} ku_1 & ku_2\\ ku_3 & ku_4\end{array} \right] + \left[ \begin{array}{rr} mu_1 & mu_2\\ mu_3 & mu_4\end{array} \right] \\&= k \left[ \begin{array}{rr} u_1 & u_2\\ u_3 & u_4\end{array} \right] + m \left[ \begin{array}{rr} u_1 & u_2\\ u_3 & u_4\end{array} \right] \\&= k \vec{u} + m \vec{u}\end{aligned}$$

Aksioma 9

$$\begin{aligned}k (m \vec{u}) &= k \left( m \left[ \begin{array}{rr} u_1 & u_2\\ u_3 & u_4\end{array} \right] \right) \\&= k \left[ \begin{array}{rr} mu_1 & mu_2\\ mu_3 & mu_4\end{array} \right] \\&= \left[ \begin{array}{rr} k(mu_1 ) & k(mu_2 )\\ k(mu_3 ) & k(mu_4 )\end{array} \right]\end{aligned}$$Pada bilangan real berlaku sifat asosiatif terhadap operasi perkalian, sehingga$$\begin{aligned}k (m \vec{u}) &= \left[ \begin{array}{rr} (km)u_1 & (km)u_2\\ (km)u_3 & (km)u_4\end{array} \right] \\&= (km) \left[ \begin{array}{rr} u_1 & u_2\\ u_3 & u_4\end{array} \right] \\&= (km) \vec{u}\end{aligned}$$

Aksioma 10

$$\begin{aligned}1 \vec{u} &= 1 \left[ \begin{array}{rr} u_1 & u_2\\ u_3 & u_4\end{array} \right] \\&= \left[ \begin{array}{rr} 1 \cdot u_1 & 1 \cdot u_2\\ 1 \cdot u_3 & 1 \cdot u_4\end{array} \right] \\&= \left[ \begin{array}{rr} u_1 & u_2\\ u_3 & u_4\end{array} \right] \\&= \vec{u}\end{aligned}$$Karena himpunan V memenuhi kesepuluh aksioma di atas, maka himpunan matriks $2 \times 2$ dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar standar merupakan ruang vektor.

Selanjutnya, kita masuk ke contoh kedua. Kali ini, operasi yang diberikan bukanlah operasi standar.

CONTOH 2

Diketahui himpunan V yang berisi semua pasangan bilangan real berbentuk $(1,a)$. Pada himpunan V berlaku operasi penjumlahan dan perkalian skalar yang didefinisikan sebagai berikut.$$\begin{aligned}(1,u_1 ) + (1,v_1 ) &= (1,u_1 + v_1 ) \\k(1,u_1) &= (1,ku_1)\end{aligned}$$

Ambil sebarang $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \in V$ dan $k,m \in \mathbb{R}$. Tulis$$\begin{aligned}\vec{u} &= (1, u_1), \quad u_1 \in \mathbb{R} \\\vec{v} &= (1, v_1), \quad v_1 \in \mathbb{R} \\\vec{w} &= (1, w_1), \quad w_1 \in \mathbb{R}\end{aligned}$$

Aksioma 1

$$\begin{aligned}\vec{u} + \vec{v} &= (1, u_1) + (1, v_1) \\&= (1,u_1 + v_1 )\end{aligned}$$Pada operasi penjumlahan bilangan real berlaku sifat tertutup, sehingga $u_1 + v_1 \in \mathbb{R}$.Karena komponen pertamanya adalah $1$ dan $u_1 + v_1 \in \mathbb{R}$, maka $\vec{u}+\vec{v} \in \mathbb{R}$.

Aksioma 2

$$\begin{aligned}\vec{u} + \vec{v} &= (1, u_1) + (1, v_1) \\&= (1,u_1 + v_1 )\end{aligned}$$Berdasarkan sifat komutatif pada bilangan real, $u_1 + v_1 =v_1 + u_1$, sehingga$$\begin{aligned}\vec{u} + \vec{v} &= (1,v_1 + u_1 ) \\&= (1, v_1) + (1, u_1) \\&= \vec{v} + \vec{u}\end{aligned}$$

Aksioma 3

$$\begin{aligned}\vec{u} + (\vec{v}+\vec{w}) &= (1, u_1) + [(1, v_1)+(1, w_1)] \\&= (1, u_1) + (1,v_1 + w_1 ) \\&=(1,u_1 + [v_1 + w_1 ])\end{aligned}$$Berdasarkan sifat asosiatif pada penjumlahan bilangan real diperoleh$$\begin{aligned}\vec{u} + (\vec{v}+\vec{w}) &= (1,[u_1 + v_1 ] + w_1 ) \\&= (1,u_1 + v_1 ) + (1,w_1 ) \\&= [(1, u_1) + (1, v_1)]+(1, w_1) \\&= (\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w}\end{aligned}$$

Aksioma 4

Terdapat $\vec{0} = (1,0) \in V$, sedemikian sehingga$$\begin{aligned}\vec{u} + \vec{0} &= (1, u_1) + (1, 0) \\&= (1,u_1 + 0 ) \\&= (1, u_1) \\&= \vec{u}\end{aligned}$$

Aksioma 5

Untuk setiap $\vec{u}=(1,u_1) \in V$, terdapat $-\vec{u} = (1, -u_1 ) \in V$ sedemikian sehingga$$\begin{aligned}\vec{u} + (-\vec{u}) &= (1,u_1) + (1, -u_1 ) \\&= (1,u_1 + (-u_1)) \\&= (1, 0) \\&= \vec{0}\end{aligned}$$

Aksioma 6

$$\begin{aligned}k \vec{u} &= k(1,u_1 ) \\&= (1,ku_1)\end{aligned}$$Pada operasi perkalian bilangan real berlaku sifat tertutup, sehingga $ku_1 \in \mathbb{R}$.Karena komponen pertamanya adalah $1$ dan $ku_1 \in \mathbb{R}$, maka $k \vec{u} \in \mathbb{R}$.

Aksioma 7

$$\begin{aligned}k (\vec{u} + \vec{v}) &= k[(1, u_1) + (1, v_1)] \\&= k[(1, u_1 + v_1 )] \\&= (1, k[u_1 + v_1 ]) \\&= (1, ku_1 + kv_1 ) \\&= (1, ku_1) + (1, kv_1) \\&= k(1, u_1) + k(1, v_1) \\&= k \vec{u} + k \vec{v}\end{aligned}$$

Aksioma 8

$$\begin{aligned}(k+m) \vec{u} &= [k+m](1,u_1) \\&= (1,[k+m]u_1) \\&= (1,ku_1 + mu_1) \\&= (1,ku_1)+(1,mu_1) \\&= k(1,u_1)+ m(1,u_1) \\&= k \vec{u}+ m \vec{u}\end{aligned}$$

Aksioma 9

$$\begin{aligned}k(m\vec{u}) &= k[m(1,u_1)] \\&= k(1,mu_1) \\&= (1,k[mu_1]) \\&= (1,[km]u_1) \\&= [km](1,u_1) \\&= (km) \vec{u}\end{aligned}$$

Aksioma 10

$$\begin{aligned}1 \vec{u} &= 1(1,u_1) \\&= (1, 1 \cdot u_1) \\&= (1,u_1) \\&= \vec{u}\end{aligned}$$

Karena himpunan V memenuhi kesepuluh aksioma ruang vektor, maka dapat disimpulkan bahwa himpunan V dengan operasi yang diberikan merupakan ruang vektor.

CONTOH 3

Himpunan bilangan real positif, dengan operasi$$\begin{aligned}\vec{u} + \vec{v} &= (u) + (v) = (uv) \\k \vec{u} &= k(u)=u^k\end{aligned}$$

Misalkan himpunan tersebut adalah $V$.Ambil sebarang $\vec{u},\vec{v},\vec{w} \in V$ dan $k,m \in \mathbb{R}$.Tulis $\vec{u} = (u)$, $\vec{v} = (v)$, dan $\vec{w} = (w)$, untuk suatu bilangan real positif $u$, $v$, dan $w$.

Aksioma 1

$$\begin{aligned}\vec{u} + \vec{v} &= (u) + (v) \\&= (uv)\end{aligned}$$Karena $uv$ merupakan bilangan real positif, maka $\vec{u} + \vec{v} \in V$.

Aksioma 2

$$\begin{aligned}\vec{u} + \vec{v} &= (u) + (v) \\&= (uv) \\&= (vu) \\&= (v) + (u) \\&= \vec{v} + \vec{u}\end{aligned}$$

Aksioma 3

$$\begin{aligned}\vec{u} + ( \vec{v} + \vec{w} ) &= (u) + [ (v) + (w) ] \\&= (u) + (vw) \\&= (u[vw])\end{aligned}$$Pada bilangan real, berlaku sifat asosiatif dan komutatif terhadap operasi perkalian, sehingga$$\begin{aligned}\vec{u} + ( \vec{v} + \vec{w} ) &= ([uv]w) \\&= (uv) + (w) \\&= [(u) + (v)] + (w) \\&= (\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w}\end{aligned}$$

Aksioma 4

Terdapat $\vec{0} = (1) \in V$, sedemikian sehingga$$\begin{aligned}\vec{u} + \vec{0} &= (u) + (1) \\&= (u \cdot 1) \\&= (u) \\&= \vec{u}\end{aligned}$$

Aksioma 5

Untuk setiap $\vec{u} = (u) \in V$, terdapat $-\vec{u} = (\frac{1}{u}) \in V$, sedemikian sehingga$$\begin{aligned}\vec{u} + (-\vec{u}) &= (u) + \left( \frac{1}{u} \right) \\&= \left( u \cdot \frac{1}{u} \right) \\&= (1) \\&= \vec{0}\end{aligned}$$

Aksioma 6

$$\begin{aligned}k \vec{u} &= k(u) \\&= (u^k)\end{aligned}$$Karena $u^k \in \mathbb{R}^+$, maka $k \vec{u} \in V$.

Aksioma 7

$$\begin{aligned}k( \vec{u} + \vec{v} ) &= k [(u) + (v)] \\&= k (uv) \\&= ([uv]^k) \\&= (u^k v^k) \\&= (u^k) + (v^k) \\&= k(u) + k(v) \\&= k \vec{u} + k \vec{v}\end{aligned}$$

Aksioma 8

$$\begin{aligned}(k+m) \vec{u} &= [k+m] (u) \\&= (u^{k+m}) \\&= (u^k u^m) \\&= (u^k) + (u^m) \\&= k(u) + m(u) \\&= k \vec{u} + m \vec{u}\end{aligned}$$

Aksioma 9

$$\begin{aligned}k(m \vec{u}) &= k[ m (u)] \\&= k(u^m) \\&= ([u^m]^k) \\&= (u^{mk}) \\&= (u^{km}) \\&= [km] (u) \\&= (km) \vec{u}\end{aligned}$$

Aksioma 10

$$\begin{aligned}1 \vec{u} = 1 (u) = (u^1)=(u)=\vec{u}\end{aligned}$$Karena memenuhi kesepuluh aksioma ruang vektor, maka himpunan bilangan real positif dengan operasi yang diberikan merupakan ruang vektor.

Oh iya. Untuk menentukan bahwa suatu himpunan tidak termasuk ruang vektor, kita tidak perlu menuliskan kesepuluh aksioma dan mengecek keberlakuannya satu per satu. Kita cukup menunjukkan aksioma mana saja yang tidak dipenuhi oleh himpunan tersebut. Misalnya pada contoh berikut ini.

CONTOH 4

Himpunan $V$ yang berisi semua pasangan bilangan real dengan operasi penjumlahan standar, tetapi operasi perkalian skalar didefinisikan sebagai $k(u_1 , u_2) = (0 , ku_2)$.

Himpunan $V$ bukan termasuk ruang vektor, karena aksioma 10 tidak berlaku pada semua vektor di himpunan $V$.

Misalkan $\vec{u} = (u_1 , u_2 ) \in V$, dengan $u_1 \neq 0$. Perhatikan bahwa$$\begin{aligned}1 \vec{u} &= 1(u_1 , u_2 ) \\&=(0, 1 \cdot u_1) \\&=(0,u_1) \\&\neq \vec{u}\end{aligned}$$

Tambahan

Dengan keempat contoh di atas, sepertinya sudah ada gambaran bagaimana memeriksa apakah suatu himpunan termasuk ruang vektor atau bukan.

Satu lagi, $\vec{0}$ dan $-\vec{u}$ pada aksioma 4 dan aksioma 5 bukan sekadar hasil tebakan atau muncul tiba-tiba yah. Ada prosedur matematis untuk menentukan kedua vektor ini.

Perhatikan kembali contoh 2. Diketahui himpunan V yang berisi semua pasangan bilangan real berbentuk $(1,a)$. Pada himpunan V berlaku operasi penjumlahan dan perkalian skalar yang didefinisikan sebagai berikut.$$\begin{aligned}(1,u_1 ) + (1,v_1 ) &= (1,u_1 + v_1 ) \\k(1,u_1) &= (1,ku_1)\end{aligned}$$

Himpunan V berisi pasangan bilangan real berbentuk $(1,a)$, sehingga $\vec{0}$ dan $-\vec{u}$ secara berturut-turut adalah $(1,x)$ dan $(1,y)$ untuk suatu bilangan real $x$ dan $y$.Karena $\vec{0}$ adalah elemen identitas, maka berlaku$$\begin{aligned}\vec{u} + \vec{0} &= \vec{u} \\(1 , u_1) + (1,x) &= (1,u_1) \\(1 , u_1 + x) &= (1,u_1)\end{aligned}$$Diperoleh $u_1 +x=u_1$, sehingga $x=0$.Jadi, $\vec{0}=(1,0)$.

Selanjutnya, karena $-\vec{u}$ adalah invers penjumlahan dari $\vec{u}$, maka$$\begin{aligned}\vec{u} + (-\vec{u}) &= \vec{0} \\(1,u_1) + (1,y) &= (1,0) \\(1,u_1 + y) &= (1,0)\end{aligned}$$Diperoleh $u_1 + y = 0$, sehingga $y=-u_1$.Jadi, $-\vec{u}=(1,-u_1 )$.

Sebagai contoh lain. Diberikan himpunan V yang berisi pasangan bilangan real dengan operasi penjumlahan yang didefinisikan sebagai $(u_1 ,u_2) + (v_1 , v_2 )=(u_1 + v_1 -1, u_2 + v_2 -1)$. Kita akan menentukan $\vec{0}$ dan $-\vec{u}$ pada himpunan tersebut.

Misalkan $u=(u_1 , u_2) \in V$. Karena V berisi pasangan bilangan real, maka $\vec{0}$ dan $-\vec{u}$ secara berturut-turut berbentuk $(a,b)$ dan $(c,d)$ untuk suatu bilangan real a, b,c, dan d.

Pertama, kita akan menentukan vektor nol dari himpunan V. Perhatikan bahwa$$\begin{aligned}\vec{u} + \vec{0} &= \vec{u} \\(u_1 , u_2 ) + (a,b) &= (u_1 , u_2 ) \\(u_1 +a-1, u_2 + b-1) &= (u_1 , u_2 )\end{aligned}$$Diperoleh $u_1+a-1=u_1$ dan $u_2 +a-1 = u_2$. Sehingga $a=1$ dan $b=1$.Jadi, $\vec{0}=(1,1)$.

Selanjutnya, kita akan menentukan $-\vec{u}$. Perhatikan bahwa$$\begin{aligned}\vec{u} + (-\vec{u}) &= \vec{0} \\(u_1 , u_2 ) + (c,d) &= (1,1) \\(u_1 +c-1, u_2 + d-1) &= (1,1)\end{aligned}$$Diperoleh$$\begin{aligned}u_1 +c-1 &= 1 \Longrightarrow c=2-u_1 \\u_1 +d-1 &= 1 \Longrightarrow d=2-u_2\end{aligned}$$Jadi, $-\vec{u} = (2-u_1 , 2-u_2)$

Demikian pembahasan tentang 10 aksioma ruang vektor. Jika ada yang kurang jelas, silahkan ditanyakan lewat kolom komentar. Selanjutnya, kita akan belajar tentang subset ruang vektor yang juga memenuhi kesepuluh aksioma ruang vektor. Subset ini disebut sebagai subruang vektor.