Dalam tulisan ini, kita akan membahas mengenai himpunan bagian (subset) ruang vektor yang juga merupakan ruang vektor terhadap operasi penjumlahan dan perkalian skalar yang sama. Himpunan ini disebut sub ruang vektor.
Definisi
Pada umumnya, untuk menunjukkan bahwa suatu himpunan tak kosong W merupakan ruang vektor, kita perlu menunjukkan keberlakuan 10 aksioma ruang vektor pada himpunan tersebut. Akan tetapi, jika W merupakan subset dari suatu ruang vektor V maka kita tidak perlu mengecek keberlakuan kesepuluh aksioma, karena ada beberapa aksioma yang diturunkan dari ruang vektor V. Misalnya sifat komutatif terhadap operasi penjumlahan yang diberikan. Kita tidak perlu mengecek apakah $\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}$ berlaku pada W, karena hal ini berlaku untuk semua vektor yang berada pada himpunan V, termasuk vektor-vektor di W yang merupakan subsetnya.
Ada beberapa aksioma yang tidak diturunkan dari V, misalnya sifat tertutup terhadap operasi penjumlahan. Karena W merupakan subset dari himpunan V, maka untuk setiap $\vec{u},\vec{v} \in W$ tentu berlaku $\vec{u}+\vec{v} \in V$. Tapi tidak ada jaminan bahwa $\vec{u}+\vec{v} \in W$ karena mungkin saja terdapat $\vec{u},\vec{v} \in W$ yang jumlahnya merupakan anggota V tetapi bukan merupakan anggota W.
Ada empat aksioma yang tidak diturunkan dari ruang vektor V, yaitu
- Aksioma 1 (Tertutup terhadap operasi penjumlahan)
- Aksioma 4 (Keberadaan vektor $\vec{0}$ di himpunan W)
- Aksioma 5 (Keberadaan vektor $-\vec{u}$ di himpunan W)
- Aksioma 6 (Tertutup terhadap operasi perkalian dengan skalar)
Teorema berikut ini menjamin bahwa kita hanya perlu menunjukkan keberlakuan aksioma 1 dan aksioma 6, karena aksioma 4 dan aksioma 5 merupakan akibat dari terpenuhinya kedua aksioma ini.
Teorema
- Untuk setiap $\vec{u},\vec{v} \in W$ berlaku $\vec{u} + \vec{v} \in W$
- Untuk setiap $\vec{u}\in W$ dan $k \in \mathbb{R}$ berlaku $k\vec{u} \in W$
Bukti
Karena teorema di atas berbentuk biimplikasi, maka kita bagi menjadi dua bagian. Pertama, kita buktikan dari kiri. Diketahui W merupakan subruang dari V, berarti himpunan W memenuhi kesepuluh aksioma ruang vektor, termasuk aksioma 1 dan 6 yang merupakan syarat (a) dan (b) pada teorema di atas.
Selanjutnya, kita buktikan dari kanan. W adalah subset dari V yang merupakan ruang vektor, berarti W memenuhi beberapa aksioma ruang vektor yang diturunkan dari V, yaitu aksioma 2, 3, 7,8,9, dan aksioma 10. Karena syarat (a) dan (b) pada teorema di atas merupakan aksioma 1 dan 6 dari ruang vektor, maka kita tinggal menunjukkan bahwa aksioma 4 dan aksioma 5 berlaku pada himpunan W.
Misalkan $\vec{u}$ adalah sebarang anggota dari himpunan W. Karena $-1 \in \mathbb{R}$, maka berdasarkan aksioma 6, $-\vec{u}=(-1) \cdot \vec{u} \in W$. Berarti, aksioma 5 dipenuhi oleh himpunan W. Selanjutnya, berdasarkan aksioma 1, $\vec{0} = \vec{u} + (-\vec{u}) \in W$. Berarti, himpunan W juga memenuhi aksioma 4.Karena memenuhi kesepuluh aksioma ruang vektor, maka terbukti bahwa W merupakan subruang dari V.
CONTOH 1
Tunjukkan bahwa himpunan vektor dalam bentuk $(b_1 ,b_2 ,b_3)$ dengan $b_1 =b_2$ merupakan subruang dari $\mathbb{R}^3$.
Pembahasan
Misalkan himpunan tersebut adalah A.Pertama, kita tunjukkan bahwa himpunan A tidak kosong.Terdapat $(0,0,0) \in A$, sehingga himpunan A tidak kosong.
Selanjutnya, kita akan menunjukkan bahwa himpunan A tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar.Ambil sebarang $\vec{u},\vec{v} \in A$ dan $k \in \mathbb{R}$. Tulis
$\vec{u} = (u_1 ,u_2 ,u_3)$ untuk suatu $u_1 ,u_2 ,u_3 \in \mathbb{R}$ dengan $u_1 =u_2$.
dan
$\vec{v}=(v_1 ,v_2 ,v_3)$ untuk suatu $v_1 ,v_2 ,v_3 \in \mathbb{R}$ dengan $v_1 =v_2$.
Perhatikan bahwa$$\begin{aligned}\vec{u} + \vec{v} &= (u_1 ,u_2 ,u_3) + (v_1 ,v_2 ,v_3) \\&= (u_1 + v_1 ,u_2 + v_2 ,u_3 + v_3)\end{aligned}$$Diketahui $u_1 =u_2$ dan $v_1 =v_2$, sehingga $u_1 + v_1 =u_2 + v_2$.Diperoleh $\vec{u} + \vec{v} \in A$.Terbukti bahwa himpunan A tertutup terhadap operasi penjumlahan.
Selanjutnya, perhatikan bahwa$$\begin{aligned}k\vec{u} &= k(u_1 ,u_2 ,u_3) \\&=(ku_1 ,ku_2 ,ku_3)\end{aligned}$$Karena $ku_1 =ku_2$, maka diperoleh $k\vec{u} \in A$.Terbukti bahwa himpunan A tertutup terhadap operasi perkalian dengan skalar.
Jadi, himpunan A merupakan subruang dari $\mathbb{R}^3$.
CONTOH 2
Periksa apakah himpunan vektor dalam bentuk $(x_1 ,x_2)$ dengan $x_1 \cdot x_2 =0$ merupakan subruang dari $\mathbb{R}^2$.
Pembahasan
Misalkan himpunan tersebut adalah B.Himpunan B bukan subruang dari $\mathbb{R}^2$, karena himpunan B tidak bersifat tertutup terhadap operasi penjumlahan.
Contoh penyangkal: $(1,0), \: (0,1) \in B$, tetapi $(1,0) +(0,1) = (1,1) \notin B$.
CONTOH 3
Tunjukkan bahwa himpunan matriks $2 \times 2$ dalam bentuk$$\begin{aligned}\left[\begin{array}{rr}a & b\\c & d\end{array}\right]\end{aligned}$$dengan $a,b,c,d \in \mathbb{R}$ dan $a+b+c-d=0$, merupakan subruang dari $M_{2 \times 2}$.
Pembahasan
Misalkan himpunan tersebut adalah A.Pertama, kita akan menunjukkan bahwa himpunan A tidak kosong. Terdapat$$\begin{aligned}\left[\begin{array}{rr}0 & 0\\0 & 0\end{array}\right] \in A\end{aligned}$$sehingga himpunan A tidak kosong.
Selanjutnya, kita akan menunjukkan bahwa himpunan A tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar.Ambil sebarang $\vec{u}, \vec{v} \in A$ dan $k \in \mathbb{R}$. Tulis$$\begin{aligned}\vec{u} = \left[\begin{array}{rr}u_1 & u_2\\u_3 & u_4\end{array}\right]\end{aligned}$$untuk suatu $u_1 ,u_2 ,u_3 ,u_4 \in \mathbb{R}$ dengan $u_1 +u_2 +u_3 -u_4=0$, dan$$\begin{aligned}\vec{v} = \left[\begin{array}{rr}v_1 & v_2\\v_3 & v_4\end{array}\right]\end{aligned}$$untuk suatu $v_1 ,v_2 ,v_3 ,v_4 \in \mathbb{R}$ dengan $v_1 +v_2 +v_3 -v_4=0$.
Perhatikan bahwa$$\begin{aligned}\vec{u} + \vec{v} &= \left[\begin{array}{rr}u_1 & u_2\\u_3 & u_4\end{array}\right] + \left[\begin{array}{rr}v_1 & v_2\\v_3 & v_4\end{array}\right] \\&= \left[\begin{array}{rr}u_1 + v_1 & u_2 + v_2\\u_3 + v_3 & u_4 + v_4\end{array}\right]\end{aligned}$$Karena$$\begin{aligned}(u_1+v_1)+(u_2+v_2)+(u_3+v_3)-(u_4+v_4) &= (u_1+u_2+u_3-u_4) + (v_1+v_2+v_3-v_4) \\&= 0+0 \\&= 0\end{aligned}$$maka $\vec{u} + \vec{v} \in A$. Terbukti bahwa himpunan A tertutup terhadap operasi penjumlahan.
Selanjutnya, perhatikan bahwa$$\begin{aligned}k \vec{u} &= k \left[\begin{array}{rr}u_1 & u_2\\u_3 & u_4\end{array}\right] \\&= \left[\begin{array}{rr}ku_1 & ku_2\\ku_3 & ku_4\end{array}\right]\end{aligned}$$Karena$$\begin{aligned}ku_1+ku_2+ku_3-ku_4 &= k(u_1+u_2+u_3-u_4) \\&= k \cdot 0 \\&= 0\end{aligned}$$maka $k \vec{u} \in A$.Terbukti bahwa himpunan A tertutup terhadap operasi perkalian dengan skalar.
Jadi, himpunan A merupakan subruang dari $M_{2 \times 2}$.