KimiaMath

Definisi dan Contoh Subgrup dalam Struktur Aljabar

Oleh Aiz — 06 Juni 2019

Kategori: Struktur Aljabar

Definisi dan Contoh Subgrup dalam Struktur Aljabar

Dalam tulisan ini, kita akan membahas mengenai himpunan bagian dari suatu grup yang juga merupakan grup.

Definisi

Misalkan $(G,*)$ adalah grup. Himpunan bagian tak kosong $H$ dari $G$ disebut subgrup dari $G$, jika $(H,*)$ merupakan grup.

Sebagai contoh, himpunan bilangan real dengan operasi penjumlahan biasa, ditulis $(\mathbb{R},+)$, merupakan grup. Himpunan bilangan bulat ($\mathbb{Z}$) merupakan himpunan bagian dari $R$, dan $(\mathbb{Z},+)$ juga membentuk grup. Jadi, $(\mathbb{Z},+)$ merupakan subgrup dari $(\mathbb{R},+)$.

Salah satu hal yang perlu diperhatikan adalah operasi yang didefinisikan pada subgrup harus sama dengan operasi pada grup. Himpunan bilangan bulat dengan operasi penjumlahan, $(\mathbb{Z},+)$, merupakan grup. Himpunan $\mathbb{S}=\{ -1,1 \}$ merupakan himpunan bagian dari $\mathbb{Z}$, dan membentuk grup terhadap operasi perkalian. Namun, kita tidak dapat mengatakan bahwa $(\mathbb{S}, \times)$ subgrup dari $(\mathbb{Z},+)$, karena operasi yang berlaku pada keduanya berbeda.

Setiap grup mempunyai sedikitnya dua subgrup. Subgrup yang dimaksud adalah dirinya sendiri dan himpunan yang hanya memuat elemen identitas dari grup tersebut. Kedua subgrup ini dinamakan subgrup trivial.

Sebelum membahas lebih lanjut, saya akan menuliskan beberapa sifat grup yang akan digunakan dalam tulisan ini.

Sifat

Misal $G$ grup. Untuk setiap $x,y \in G$ dan $n \in \mathbb{Z}$, berlaku
  1. $(x^{-1})^{-1}=x$.
  2. $(x^{-1})^n=(x^n)^{-1}$.
  3. $(xy)^n=x^ny^n$, jika $G$ grup abelian.

Dalam tulisan ini, kita menyatakan grup $(G,*)$ cukup dengan $G$, dan hasil operasi $a*b$ dengan $ab$. Misalnya pada sifat ketiga di atas.

Berdasarkan definisi subgrup, kita perlu memeriksa keberlakuan syarat-syarat grup, mulai dari himpunan tersebut tidak kosong sampai pada keberadaan invers dari setiap elemen. Namun, dengan bantuan teorema berikut, kita tidak perlu memeriksa keberlakuan semua syarat tersebut. Kita akan menggunakan teorema ini dalam memeriksa apakah suatu himpunan merupakan subgrup.

Teorema

Misalkan $G$ adalah grup dan $H$ adalah himpunan bagian tak kosong dari $G$. $H$ merupakan subgrup dari $G$ jika dan hanya jika $ab^{-1} \in H$, untuk setiap $a,b \in H$.

Teorema di atas berbentuk biimplikasi, sehingga kita perlu membuktikan teorema ini dalam dua arah.

Dari Kiri

Misal $G$ adalah grup dan $H$ adalah subgrup dari $G$. Diambil sebarang $a,b \in H$. Kita akan membuktikan bahwa $ab^{-1} \in H$.

Sebagai subgrup dari $G$, himpunan $H$ tentu merupakan grup. Setiap elemen grup mempunyai invers, sehingga $b \in H$ berakibat $b^{-1} \in H$. Kita juga mempunyai $a \in H$. Berdasarkan sifat tertutup pada grup $H$, diperoleh $ab^{-1} \in H$. Terbukti.

Dari Kanan

Misal $G$ adalah grup dengan elemen identitas $e$, dan $H$ adalah himpunan bagian tak kosong dari $G$. Pada himpunan $H$ berlaku $ab^{-1} \in H$, untuk setiap $a,b \in H$. Kita akan membuktikan bahwa $H$ subgrup dari $G$, yaitu dengan menunjukkan bahwa $H$ juga grup.

Sebagai himpunan bagian dari grup $G$, himpunan $H$ juga memenuhi sifat asosiatif terhadap operasi pada $G$. Diketahui himpunan $H$ tak kosong, artinya terdapat suatu $x \in H$. Berdasarkan hipotesis, $x \in H$ berakibat $xx^{-1}=e \in H$. Jadi, $H$ mempunyai elemen identitas. Berikutnya, $e,x \in H$ berakibat $ex^{-1}=x^{-1} \in H$. Artinya, setiap elemen $H$ mempunyai invers.

Terakhir, kita tinggal membuktikan bahwa $H$ memenuhi sifat tertutup. Diambil sebarang $x,y \in H$. Kita akan menunjukkan bahwa $xy \in H$. Setiap elemen $H$ mempunyai invers, sehingga $y^{-1} \in H$. Berdasarkan hipotesis, $x,y^{-1} \in H$ berakibat $x(y^{-1})^{-1}=xy \in H$ (sifat 1).

Jadi, $H$ merupakan grup. Berdasarkan definisi, $H$ subgrup dari $G$. Terbukti.

Berdasarkan teorema di atas, prosedur untuk memeriksa apakah $H$ merupakan subgrup dari grup $G$ adalah sebagai berikut.
  1. Periksa apakah $H$ bukan himpunan kosong.
  2. Periksa apakah $H$ himpunan bagian dari $G$.
  3. Asumsikan $a,b \in H$, kemudian tunjukkan bahwa $ab^{-1} \in H$.

Agar lebih mudah dipahami, kita akan membahas beberapa contoh soal.

Contoh Soal

Contoh 1

Misal $G$ adalah grup abelian (grup komutatif) dengan elemen identitas $e$. Buktikan bahwa $H=\{ x \in G \: | \: x^2=e \}$ merupakan subgrup dari $G$

BUKTI

Misal $G$ adalah grup abelian dengan elemen identitas $e$. Kita akan membuktikan $H$ subgrup dari $G$. Pertama, kita perlu menunjukkan bahwa $H$ bukan himpunan kosong. Elemen identitas $e$ memenuhi $e^2=e$, sehingga $e \in H$. Artinya, $H$ bukan himpunan kosong. Berikutnya, kita perlu menunjukkan bahwa $H$ himpunan bagian dari $G$. Namun, hal ini jelas terjadi, berdasarkan definisi himpunan $H$ pada soal.

Selanjutnya, diambil sebarang $a,b \in H$. Kita akan menunjukkan bahwa $ab^{-1} \in H$. Untuk itu, kita perlu memeriksa apakah benar $(ab^{-1})^2=e$. Sebagai elemen $H$, $a$ dan $b$ memenuhi $a^2=e$ dan $b^2=e$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} (ab^{-1})^2 &= (ab^{-1})(ab^{-1}) &\text{[Definisi pangkat]} \\ &= a(b^{-1}a)b^{-1} &\text{[Sifat asosiatif]} \\ &= a(ab^{-1})b^{-1} &[G \text{ grup abelian]} \\ &= (aa)(b^{-1}b^{-1}) &\text{[Sifat asosiatif]} \\ &= a^2(b^{-1})^2 &\text{[Definisi pangkat]} \\ &= a^2(b^2)^{-1} &[\text{Sifat 2}] \\ &= ee^{-1} &\text{[Diketahui]} \\ &= e &[e \text{ invers dari } e] \end{aligned}$$

Diperoleh $(ab^{-1})^2=e$, artinya $ab^{-1} \in H$. Jadi, terbukti bahwa $H$ subgrup dari $G$.

Contoh 2

Misal $G$ adalah grup abelian dengan elemen identitas $e$. Buktikan bahwa $$H=\{ y \: | \: y=x^2, \text{ untuk suatu } x \in G \}$$ merupakan subgrup dari $G$.

BUKTI

Misal $G$ adalah grup abelian dengan elemen identitas $e$. Kita akan membuktikan $H$ subgrup dari $G$. Pertama, kita perlu menunjukkan bahwa $H$ bukan himpunan kosong. Elemen identitas $e$ memenuhi $e=e^2$, sehingga $e \in H$. Artinya, $H$ bukan himpunan kosong.

Berikutnya, kita perlu menunjukkan bahwa $H$ himpunan bagian dari $G$. Diambil sebarang $a \in H$. Kita perlu menunjukkan bahwa $a \in G$. Sebagai elemen $H$, $a$ dapat ditulis sebagai $c^2$ untuk suatu $c \in G$. Pada grup $G$ berlaku sifat tertutup, sehingga $c \in G$ berakibat $cc=c^2=a \in G$. Jadi, $H$ himpunan bagian dari $G$.

Selanjutnya, diambil sebarang $a,b \in H$. Kita akan menunjukkan bahwa $ab^{-1} \in H$. Untuk itu, kita perlu memeriksa apakah benar $ab^{-1}$ dapat ditulis sebagai pangkat dua dari suatu elemen $G$. Berdasarkan definisi himpunan $H$, terdapat $c.d \in G$ sehingga $a=c^2$ dan $b=d^2$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} ab^{-1} &= (c^2)(d^2)^{-1} &\text{[Diketahui]} \\ &= (c^2)(d^{-1})^2 &[\text{Sifat 2}] \\ &= (cd^{-1})^2 &[\text{Sifat 3}] \end{aligned}$$

Berdasarkan sifat tertutup dan keberadaan unsur identitas pada $G$, $c,d \in G$ berakibat $cd^{-1} \in G$. Tulis $cd^{-1}=k \in G$. Berdasarkan uraian di atas, $ab^{-1}$ dapat ditulis sebagai $k^2$, untuk suatu $k \in G$. Berdasarkan definisi himpunan $H$, diperoleh $ab^{-1} \in H$. Jadi, terbukti bahwa $H$ subgrup dari $G$.

Contoh 3

Misal $G$ adalah grup. Center dari $G$ didefinisikan sebagai $$Z(G)=\{ y \in G \: | \: yx=xy \text{ untuk setiap } x \in G \}$$ Buktikan bahwa $Z(G)$ subgrup dari G.

BUKTI

Misal $G$ adalah grup dengan elemen identitas $e$. Kita akan membuktikan $Z(G)$ subgrup dari $G$. Pertama, kita perlu menunjukkan bahwa $Z(G)$ bukan himpunan kosong. Elemen identitas $e \in G$ memenuhi $ex=xe$ untuk setiap $x \in G$, sehingga $e \in Z(G)$. Artinya, $Z(G)$ bukan himpunan kosong. Berikutnya, kita perlu menunjukkan bahwa $Z(G)$ himpunan bagian dari $G$. Namun, hal ini jelas terjadi, berdasarkan definisi himpunan $Z(G)$.

Selanjutnya, diambil sebarang $a,b \in Z(G)$ dan $x \in G$. Kita akan menunjukkan bahwa $ab^{-1} \in Z(G)$. Untuk itu, kita perlu memeriksa apakah benar $ab^{-1}$ memenuhi $(ab^{-1})x=x(ab^{-1})$. Berdasarkan definisi $Z(G)$, $a,b \in Z(G)$ memenuhi $ax=xa$ dan $bx=xb$. Dengan mengoperasikan kedua ruas persamaan $bx=xb$ dengan $b^{-1}$ dari kiri dan kanan, diperoleh $$\begin{aligned} b^{-1}(bx)b^{-1} &= b^{-1}(xb)b^{-1} \\ (b^{-1}b)(xb^{-1}) &= (b^{-1}x)(bb^{-1}) &\text{[Sifat asosiatif]} \\ e(xb^{-1}) &= (b^{-1}x)e &[b^{-1} \text{ invers dari } b] \\ xb^{-1} &= b^{-1}x &[e \text{ elemen identitas]} \end{aligned}$$

Diperoleh $xb^{-1}=b^{-1}x$. Artinya, $b^{-1} \in Z(G)$. Berikutnya, perhatikan bahwa $$\begin{aligned} (ab^{-1})x &= a(b^{-1}x) &\text{[Sifat asosiatif]} \\ &= a(xb^{-1}) &[b^{-1} \in Z(G) \text{ dan } x \in G] \\ &= (ax)b^{-1} &\text{[Sifat asosiatif]} \\ &= (xa)b^{-1} &[a \in Z(G) \text{ dan } x \in G] \\ &= x(ab^{-1}) &\text{[Sifat asosiatif]} \end{aligned}$$

Berdasarkan definisi $Z(G)$, diperoleh $ab^{-1} \in Z(G)$. Jadi, terbukti bahwa $Z(G)$ subgrup dari $G$.

Contoh 4

Misal $G$ adalah grup. Himpunan bagian tak kosong $H$ dari $G$ merupakan subgrup $G$ jika dan hanya jika untuk setiap $a,b \in H$ berlaku $ab \in H$ dan $b^{-1} \in H$.

BUKTI

Misal $G$ adalah grup dan $H$ himpunan bagian tak kosong dari $G$. Pernyataan pada soal berbentuk biimplikasi, sehingga kita perlu membuktikannya dalam dua arah.

Dari kiri
Diketahui $H$ subgrup dari $G$, berarti $H$ merupakan grup. Diambil sebarang $a,b \in H$. Grup $H$ memenuhi sifat tertutup, yaitu $ab \in H$, dan $b \in H$ mempunyai invers, yaitu $b^{-1} \in H$. Terbukti

Dari kanan
Diambil sebarang $a,b \in H$. Kita akan membuktikan bahwa $H$ subgrup dari $G$. Untuk itu, kita perlu menunjukkan bahwa $ab^{-1} \in H$. Berdasarkan hipotesis pada soal, $b \in H$ berakibat $b^{-1} \in H$. Selain itu, $a,b^{-1} \in H$ berakibat $ab^{-1} \in H$. Jadi, $H$ subgrup dari G. Terbukti

Teorema dalam contoh 4 dapat dijadikan alternatif dalam memeriksa apakah suatu himpunan merupakan subgrup. Berikut adalah prosedurnya.
  1. Periksa apakah $H$ bukan himpunan kosong.
  2. Periksa apakah $H$ himpunan bagian dari $G$.
  3. Asumsikan $a,b \in H$, kemudian tunjukkan bahwa $ab \in H$ dan $b^{-1} \in H$.
Sebagai latihan untuk pembaca, coba selesaikan contoh 1, 2, dan 3 menggunakan prosedur ini.

Demikian pembahasan mengenai subgrup. Semoga bermanfaat. Jika ada pertanyaan atau kekeliruan dalam tulisan ini, silakan sampaikan melalui komentar. Terima kasih.

Komentar