Salah satu materi yang penting dalam ruang vektor adalah kombinasi linear. Disebut penting, karena kombinasi linear digunakan dalam mendefinisikan istilah lain, seperti himpunan bebas linear dan bergantung linear serta himpunan yang membangun ruang vektor. Oleh karena itu, kita akan mengulas mengenai materi dan contoh soal kombinasi linear.
Sebelum membahas lebih lanjut, mari perhatikan Daftar Isi berikut.
Definisi Kombinasi Linear
Misalkan $V$ adalah ruang vektor dan $\vec{v}_1,\vec{v}_2$ adalah dua vektor dalam $V$. Pada $V$ berlaku operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar. Artinya, kita dapat mengalikan $\vec{v}_1$ dan $\vec{v}_2$ dengan skalar, sebutlah $k$ dan $m$, sehingga terbentuk vektor $k\vec{v}_1$ dan $m\vec{v}_2$. Dengan menjumlah kedua vektor, diperoleh $k\vec{v}_1+m\vec{v}_2$. Nah, vektor ini disebut sebagai kombinasi linear dari $\vec{v}_1$ dan $\vec{v}_2$.
Sebagai contoh, salah satu kombinasi linear dari $(1,2)$ dan $(0,3)$ adalah $2 \cdot (1,2)-1 \cdot (0,3)=(2,1)$. Kombinasi linear lainnya adalah $0 \cdot (1,2)+2\cdot (0,3)=(0,6)$.
Definisi
Misalkan $V$ adalah ruang vektor dan $\vec{v}_1,\vec{v}_2,\ldots,\vec{v}_r \in V$. Sebuah vektor $\vec{w}$ dalam $V$ disebut kombinasi linear dari $\vec{v}_1,\vec{v}_2,\ldots,\vec{v}_r$, jika $\vec{w}$ dapat ditulis dalam bentuk:$$\vec{w} = k_1 \vec{v}_1 +k_2 \vec{v}_2+ \ldots +k_r \vec{v}_r$$dimana $k_1,k_2,\ldots,k_r$ merupakan skalar. Skalar-skalar ini disebut koefisien dari kombinasi linear.
Berdasarkan definisi, vektor $w$ disebut kombinasi linear dari $\vec{v}_1,\vec{v}_2,\ldots,\vec{v}_r$ jika kita dapat menemukan skalar-skalar $k_1,k_2,\ldots,k_r$ yang memenuhi persamaan vektor$$\vec{w} = k_1 \vec{v}_1 +k_2 \vec{v}_2+ \ldots +k_r \vec{v}_r$$
Dari persamaan di atas, akan diperoleh sebuah sistem persamaan linear. Keberadaan solusi dari sistem ini menentukan apakah $\vec{w}$ adalah kombinasi linear dari $\vec{v}_1,\vec{v}_2,\ldots,\vec{v}_r$. Karena itu, pastikan teman-teman mengingat prosedur untuk menentukan solusi sistem persamaan linear.
Contoh Kombinasi Linear
Agar lebih paham, mari mengerjakan soal-soal terkait kombinasi linear.
Ruang Vektor Euclidean
Himpunan $\mathbb{R}^2$ dan $\mathbb{R}^3$ merupakan ruang vektor atas lapangan $\mathbb{R}$. Jadi, skalar-skalar pada bagian ini merupakan anggota $\mathbb{R}$.
Nomor 1
Periksa apakah $\vec{w}=(3,5)$ merupakan kombinasi linear dari $\vec{u}=(1,1)$ dan $\vec{v}=(1,2)$.
Untuk menentukan apakah $\vec{w}$ merupakan kombinasi linear dari $\vec{u}$ dan $\vec{v}$, kita perlu memeriksa apakah terdapat skalar-skalar $k_1$ dan $k_2$ yang memenuhi $\vec{w}=k_1\vec{u}+k_2\vec{v}$, yaitu$$(3,5) = k_1 (1,1) + k_2 (1,2)=(k_1+k_2,k_1+2k_2)$$
Berdasarkan kesamaan dua vektor, diperoleh sistem persamaan linear$$\begin{aligned}k_1+k_2 &= 3 \\k_1+2k_2 &= 5\end{aligned}$$
Solusi dari sistem persamaan di atas adalah $k_1=1$ dan $k_2=2$. Jadi, $\vec{w}$ merupakan kombinasi linear dari $\vec{u}$ dan $\vec{v}$.
Nomor 2
Periksa apakah $\vec{w}=(5,10)$ merupakan kombinasi linear dari $\vec{u}=(1,2)$ dan $\vec{v}=(2,4)$.
Kita perlu memeriksa apakah terdapat skalar-skalar $k_1$ dan $k_2$ yang memenuhi $\vec{w}=k_1\vec{u}+k_2\vec{v}$, yaitu$$(5,10)=k_1(1,2)+k_2(2,4)=(k_1+2k_2,2k_1+4k_2)$$
Berdasarkan kesamaan dua vektor, diperoleh sistem persamaan linear$$\begin{aligned}k_1+2k_2 &= 5 \\2k_1+4k_2 &= 10\end{aligned}$$
Matriks yang diperbesar dari sistem persamaan di atas adalah$$\begin{bmatrix}1&2&5\\2&4&10\end{bmatrix}$$dengan bentuk eselon baris$$\begin{bmatrix}1&2&5\\0&0&0\end{bmatrix}$$
Solusi dari sistem persamaan di atas dapat dinyatakan dalam persamaan parametrik$$\begin{aligned}k_1 &= -2t+5\\k_2 &= t\end{aligned}$$
Dengan demikian, $\vec{w}$ adalah kombinasi linear dari $\vec{u}$ dan $\vec{v}$. Lebih lanjut, ada tak berhingga cara menuliskan $\vec{w}$ sebagai kombinasi linear dari $\vec{u}$ dan $\vec{v}$.
Nomor 3
Periksa apakah $\vec{w}=(9,2,7)$ merupakan kombinasi linear dari vektor-vektor $\vec{u}_1=(1,2,-1)$ dan $\vec{u}_2=(6,4,2)$.
Kita perlu memeriksa apakah terdapat skalar-skalar $k_1$ dan $k_2$ yang memenuhi $\vec{w}=k_1\vec{u}_1+k_2\vec{u}_2$, yaitu$$(9,2,7) = k_1(1,2,-1)+k_2(6,4,2) = (k_1+6k_2,2k_1+4k_2,-k_1+2k_2)$$
Berdasarkan kesamaan dua vektor, diperoleh sistem persamaan linear$$\begin{aligned}k_1+6k_2 &= 9 \\2k_1+4k_2 &= 2 \\-k_1+2k_2 &= 7\end{aligned}$$
Matriks yang diperbesar dari sistem persamaan di atas adalah$$\begin{bmatrix}1&6&9\\2&4&2\\-1&2&7\end{bmatrix}$$dengan bentuk eselon baris tereduksi$$\begin{bmatrix}1&0&-3\\0&1&2\\0&0&0\end{bmatrix}$$
Akibatnya, solusi sistem persamaan di atas adalah $k_1=-3$ dan $k_2=2$. Dengan demikian, $\vec{w}$ adalah kombinasi linear dari $\vec{u}_1$ dan $\vec{u}_2$.
Nomor 4
Periksa apakah $\vec{w}=(3,5,7)$ merupakan kombinasi linear dari vektor-vektor $\vec{u}_1=(1,1,2)$, $\vec{u}_2=(1,0,1)$, dan $\vec{u}_3=(2,1,3)$.
Kita perlu memeriksa apakah terdapat skalar-skalar $k_1$, $k_2$, dan $k_3$ yang memenuhi $\vec{w}=k_1\vec{u}_1+k_2\vec{u}_2+k_2\vec{u}_3$, yaitu$$\begin{aligned}(3,5,7) &= k_1(1,1,2)+k_2(1,0,1)+k_3(2,1,3) \\&= (k_1+k_2+2k_3,k_1+k_3,2k_1+k_2+3k_3)\end{aligned}$$
Berdasarkan kesamaan dua vektor, diperoleh sistem persamaan linear$$\begin{aligned}k_1+k_2+2k_3 &= 3 \\k_1+k_3 &= 5 \\2k_1+k_2+3k_3 &= 7\end{aligned}$$
Matriks yang diperbesar dari sistem persamaan di atas adalah$$\begin{bmatrix}1&1&2&3\\1&0&1&5\\2&1&3&7\end{bmatrix}$$
Dengan serangkaian operasi baris elementer, diperoleh bentuk eselon baris dari matriks di atas, yaitu$$\begin{bmatrix}1&1&2&3\\0&1&1&-2\\0&0&0&-1\end{bmatrix}$$
Persamaan yang bersesuaian dengan baris ketiga adalah $0=-1$, yang jelas bernilai salah. Akibatnya, $\vec{w}=k_1\vec{u}_1+k_2\vec{u}_2+k_3\vec{u}_3$ tidak mempunyai solusi. Dengan demikian, $\vec{w}$ bukan kombinasi linear dari $\vec{u}_1$, $\vec{u}_2$, dan $\vec{u}_3$.
Polinomial
Nomor 1
Periksa apakah $q=7+8x+9x^2$ merupakan kombinasi linear dari polinom-polinom $p_1 = 2+x+4x^2$, $p_2 = 1 -x+3x^2$, dan $p_3 = 3+2x+5x^2$.
Kita perlu memeriksa apakah terdapat skalar-skalar $k_1$, $k_2$, dan $k_3$ yang memenuhi $q=k_1p_1+k_2p_2+k_3p_3$, yaitu$$\begin{aligned}7+8x+9x^2 &= k_1(2+x+4x^2)+k_2(1-x+3x^2)+k_3(3+2x+5x^2) \\&= (2k_1+k_2+3k_3)+(k_1x-k_2x+2k_3x)+(4k_1x^2+3k_2x^2+5k_3x^2) \\&= (2k_1+k_2+3k_3)+(k_1-k_2+2k_3)x+(4k_1+3k_2+5k_3)x^2\end{aligned}$$
Berdasarkan kesamaan dua polinom, diperoleh sistem persamaan linear$$\begin{aligned}2k_1 +k_2 +3k_3 &= 7 \\k_1-k_2 +2k_3 &= 8 \\4k_1 +3k_2 +5k_3 &= 9\end{aligned}$$
Matriks yang diperbesar dari sistem persamaan di atas adalah$$\begin{bmatrix}2 & 1 & 3 & 7\\1 & -1 & 2 & 8\\4 & 3 & 5 & 9\end{bmatrix}$$dengan bentuk eselon baris tereduksi$$\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & -2\\0 & 0 & 1 & 3\end{bmatrix}$$
Dari matriks di atas, terlihat bahwa $k_1=0$, $k_2=-2$, dan $k_3=3$. Dengan demikian, $q$ adalah kombinasi linear dari $p_1$, $p_2$, dan $p_3$.
Nomor 2
Periksa apakah $q=3+2x$ merupakan kombinasi linear dari polinom-polinom $p_1 = 1+x$, $p_2 = 1$, dan $p_3 = x$.
Kita perlu memeriksa apakah terdapat skalar-skalar $k_1$, $k_2$, dan $k_3$ yang memenuhi $q=k_1p_1+k_2p_2+k_3p_3$, yaitu$$3+2x = k_1(1+x)+k_2 \cdot 1+k_3 \cdot x = (k_1+k_2)+(k_1+k_3)x$$
Berdasarkan kesamaan dua polinom, diperoleh sistem persamaan linear$$\begin{aligned}k_1+k_2 &= 3\\k_1+k_3 &= 2\end{aligned}$$
Matriks yang diperbesar dari sistem persamaan di atas adalah$$\begin{bmatrix}1&1&0&3\\1&0&1&2\end{bmatrix}$$dengan bentuk eselon baris tereduksi$$\begin{bmatrix}1&0&1&2\\0&1&-1&1\end{bmatrix}$$
Terlihat bahwa variabel $x$ dan $y$ bersesuaian dengan satu utama, sehingga variabel yang tersisa ($z$) adalah variabel bebas. Solusi dari sistem persamaan di atas dapat dinyatakan dalam persamaan parametrik$$\begin{aligned}k_1 &= -t+2\\k_2 &= t+1\end{aligned}$$
Dengan demikian, $q$ adalah kombinasi linear dari $p_1$, $p_2$, dan $p_3$. Lebih lanjut, ada tak berhingga cara menuliskan $q$ sebagai kombinasi linear dari $p_1$, $p_2$, dan $p_3$.
Matriks
Nomor 1
Misalkan$$\text{A}=\begin{bmatrix}-1&3\\2&1\end{bmatrix}, \: \text{B}=\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}, \: \text{C}=\begin{bmatrix}-1&1\\1&0\end{bmatrix}, \: \text{D}=\begin{bmatrix}0&0\\-1&1\end{bmatrix}$$Periksa apakah matriks $\text{D}$ merupakan kombinasi linear dari $\text{A}$, $\text{B}$, dan $\text{C}$.
Kita perlu memeriksa apakah terdapat skalar-skalar $k_1$, $k_2$, dan $k_3$ yang memenuhi $\text{D}=k_1\text{A}+k_2\text{B}+k_3\text{C}$, yaitu$$\begin{aligned}\begin{bmatrix}0&0\\-1&1\end{bmatrix} &= k_1\begin{bmatrix}-1&3\\2&1\end{bmatrix}+k_2\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}+k_3\begin{bmatrix}-1&1\\1&0\end{bmatrix} \\&= \begin{bmatrix}-k_1-k_3&3k_1+k_2+k_3\\2k_1+k_3&k_1+k_2\end{bmatrix}\end{aligned}$$
Berdasarkan kesamaan dua matriks, diperoleh sistem persamaan linear$$\begin{aligned}-k_1-k_3 &= 0 \\3k_1+k_2+k_3 &= 0 \\2k_1+k_3 &= -1\\k_1+k_2 &= 1\end{aligned}$$
Matriks yang diperbesar dari sistem persamaan di atas adalah$$\begin{bmatrix}1&0&1&0\\3&1&1&0\\2&0&1&-1\\1&1&0&1\end{bmatrix}$$dengan bentuk eselon baris tereduksi$$\begin{bmatrix}1&0&0&-1\\0&1&0&2\\0&0&1&1\\0&0&0&0\end{bmatrix}$$
Dari matriks di atas, terlihat bahwa $k_1=-1$, $k_2=2$, dan $k_3=1$. Dengan demikian, $\text{D}$ adalah kombinasi linear dari $\text{A}$, $\text{B}$, dan $\text{C}$.
Semoga bermanfaat! Jika ada yang perlu diperbaiki atau ingin ditanya, sila sampaikan melalui komentar.