KimiaMath

Kombinasi Linear

Oleh Aiz — 21 Juni 2019

Kategori: Aljabar Linear

Kombinasi Linear

Dalam tulisan ini, kita akan belajar mengenai kombinasi linear. Kombinasi linear ini akan digunakan dalam mendefinisikan himpunan yang merentang atau membangun suatu ruang vektor.

Definisi

Sebuah vektor $\vec{w}$ di V disebut sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor $\vec{v_1}, \: \vec{v_1}, \cdots , \: \vec{v_r}$ di V, jika $\vec{w}$ dapat ditulis dalam bentuk: $$\begin{aligned} \vec{w} = k_1 \vec{v_1} +k_2 \vec{v_2}+ \cdots k_r \vec{v_r} \end{aligned}$$ dimana $k_1 , \: k_2 , \cdots k_r$ merupakan skalar. Skalar-skalar ini dikatakan sebagai koefisien dari kombinasi linear.

Untuk lebih jelasnya, kita akan membahas beberapa contoh.

Contoh 1

Periksa apakah $(3,5)$ merupakan kombinasi linear dari $S= \{ (1,1),(1,2) \}$.

Pembahasan

Untuk menentukan apakah $(3,5)$ merupakan kombinasi linear dari $S= \{ (1,1),(1,2) \}$, kita perlu memeriksa apakah terdapat skalar-skalar $k_1$ dan $k_2$ yang memenuhi: $$(3,5) = k_1 (1,1) + k_2 (1,2)$$

Terdapat nilai $k_1$ dan $k_2$ yang memenuhi, yaitu $k_1 = 1$ dan $k_2 =2$. Jadi, $(3,5)$ merupakan kombinasi linear dari $S= \{ (1,1),(1,2) \}$.

Contoh 2

Periksa apakah $(3,5,7)$ merupakan kombinasi linear dari vektor-vektor $\vec{u}=(1,1,2)$, $\vec{v}=(1,0,1)$, dan $\vec{u}=(2,1,3)$.

Pembahasan

Untuk menentukan apakah $(3,5,7)$ merupakan kombinasi linear dari $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$, kita perlu memeriksa apakah terdapat skalar-skalar $k_1 ,k_2 ,k_3$ yang memenuhi: $$(3,5,7) = k_1 \vec{u} + k_2 \vec{v} + k_3 \vec{w}$$

Pertama, kita bentuk sistem persamaan linear yang bersesuaian. $$\begin{aligned} (3,5,7) &= k_1(1,1,2)+k_2(1,0,1)+k_3(2,1,3) \\ &= (k_1,k_1,2k_1)+(k_2,0,k_2)+(2k_3,k_3,3k_3) \\ &= (k_1+k_2+2k_3,k_1+k_3,2k_1+k_2+3k_3) \end{aligned}$$ Diperoleh sistem persamaan linear. $$\begin{aligned} k_1 +k_2 +2k_3 =3 \\ k_1 +k_3 =5 \\ 2k_1 + k_2 +3k_3 =7 \end{aligned}$$

Matriks yang diperbesar dari sistem persamaan linear di atas adalah $$\begin{aligned} \left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 2 & 3\\ 1 & 0 & 1 & 5\\ 2 & 1 & 3 & 7\end{array} \right] \end{aligned}$$ Dengan operasi baris elementer, kita peroleh bentuk eselon baris dari matriks di atas, yaitu. $$\begin{aligned} \left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 2 & 3\\ 0 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 2\end{array} \right] \end{aligned}$$

Sistem persamaan yang bersesuaian adalah $$\begin{aligned} k_1 + k_2 + 2k_3 =3 \\ k_2 + k_3 =1 \\ 0=2 \end{aligned}$$ Diperoleh $0=2$ pada persamaan ketiga, yang jelas bernilai salah.

Jadi, tidak ada skalar $k_1 ,k_2 ,k_3$ yang memenuhi. Dengan kata lain, $(3,5,7)$ bukan merupakan kombinasi linear dari $\{ \vec{u},\vec{v},\vec{w} \}$.

Contoh 3

Periksa apakah $7+8x+9x^2$ merupakan kombinasi linear dari polinom-polinom $p_1 = 2+x+4x^2$, $p_2 = 1 -x+3x^2$, dan $p_3 = 3+2x+5x^2$.

Pembahasan

Kita akan memeriksa apakah terdapat skalar-skalar $k_1 ,k_2 ,k_3$ yang memenuhi $$7+8x+9x^2 = k_1 p_1 + k_2 p_2 + k_3 p_3$$ Pertama, kita bentuk sistem persamaan linearnya. $$\begin{aligned} 7+8x+9x^2 &= k_1(2+x+4x^2)+k_2(1-x+3x^2)+k_3(3+2x+5x^2) \\ &= (2k_1+k_1x+4k_1x^2)+(k_2-k_2x+3k_2x^2)+(3k_3+2k_3x+5k_3x^2) \\ &= (2k_1+k_2+3k_3)+(k_1x-k_2x+2k_3x)+(4k_1x^2+3k_2x^2+5k_3x^2) \\ &= (2k_1+k_2+3k_3)+(k_1-k_2+2k_3)x+(4k_1+3k_2+5k_3)x^2 \end{aligned}$$

Diperoleh sistem persamaan linear. $$\begin{aligned} 2k_1 +k_2 +3k_3=7 \\ k_1 -k_2 +2k_3=8 \\ 4k_1 +3k_2 +5k_3=9 \end{aligned}$$ Matriks yang diperbesar dari sistem persamaan linear di atas adalah $$\begin{aligned} \left[ \begin{array}{rrrr} 2 & 1 & 3 & 7\\ 1 & -1 & 2 & 8\\ 4 & 3 & 5 & 9\end{array} \right] \end{aligned}$$

Kita akan menyelesaikannya dengan eliminasi Gauss-Jordan, yaitu dengan mengubahnya menjadi bentuk eselon baris tereduksi. Bentuk eselon baris tereduksi dari matriks di atas adalah $$\begin{aligned} \left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & -2\\ 0 & 0 & 1 & 3\end{array} \right] \end{aligned}$$ Diperoleh $$\begin{aligned} k_1 &= 0 \\ k_2 &= -2 \\ k_3 &= 3 \end{aligned}$$ Jadi, $7+8x+9x^2$ merupakan kombinasi linear dari $\{ p_1 ,p_2 ,p_3 \}$, dengan koefisien kombinasi linear $k_1 =0$, $k_2 =-2$, dan $k_3 =3$.

Semoga bermanfaat! Jika ada yang perlu diperbaiki atau ingin ditanyakan, silakan sampaikan melalui komentar.

Komentar