Dalam tulisan ini, kita akan belajar tentang lingkaran dalam segitiga, termasuk bagaimana menentukan panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga. Lingkaran dalam segitiga merupakan sebuah lingkaran yang menyinggung setiap sisi segitiga. Pusat lingkaran dalam segitiga adalah titik potong ketiga garis bagi sudut segitiga, dengan panjang jari-jari$$r=\frac{\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}{s}$$
Pusat Lingkaran Dalam Segitiga
Misal diberikan segitiga ABC dengan lingkaran dalam yang berpusat di titik O dan menyinggung sisi-sisi segitiga pada titik D, E, dan F.
Buat ruas garis yang menghubungkan titik O dengan titik-titik lainnya.
Perhatikan segitiga AOE dan segitiga AOF. AE merupakan sisi segitiga AOE dan AOF. Titik E dan F berada pada lingkaran, sehingga OE dan OF merupakan jari-jari lingkaran.$$\text{OE}=\text{OF}=r$$AO adalah sisi dari segitiga AOE dan AOF, yang merupakan segitiga siku-siku. Berdasarkan teorema pythagoras, diperoleh$$\begin{aligned}\text{AE} &= \sqrt{\text{AO}^2-\text{OE}^2} \\&= \sqrt{\text{AO}^2-\text{OF}^2} \\&= \text{AF}\end{aligned}$$
Diperoleh $\text{OE}=\text{OF}$ dan $\text{AE}=\text{AF}$. Artinya, sisi-sisi yang bersesuaian pada segitiga AOE dan AOF memiliki panjang yang sama. Dengan demikian, segitiga AOE kongruen dengan segitiga AOF.
$\angle \text{OAE}$ bersesuaian dengan $\angle \text{OAF}$, sehingga besar sudutnya sama. Artinya, ruas garis AO berimpit dengan garis bagi sudut CAB. Dengan cara yang sama, diperoleh BO berimpit dengan garis bagi sudut ABC dan CO berimpit dengan garis bagi sudut BCA. Jadi, pusat lingkaran dalam segitiga, dalam hal ini titik O, merupakan titik potong ketiga garis bagi sudut segitiga.
Jari-jari Lingkaran Dalam Segitiga
Perhatikan gambar berikut.
Misalkan panjang BC, CA, dan AB secara berturut-turut sebagai a, b, dan c.Perhatikan segitiga AOB, BOC, dan segitiga AOC. Jumlah luas ketiga segitiga ini sama dengan luas segitiga ABC.$$\begin{aligned}\text{L ABC} &= \text{L BOC} + \text{L AOC} + \text{L AOB} \\&= \frac{1}{2} \cdot\text{BC} \cdot\text{OD} + \frac{1}{2} \cdot\text{AC} \cdot \text{OE} + \frac{1}{2} \cdot\text{AB} \cdot\text{OF} \\&= \frac{1}{2} \cdot a \cdot r + \frac{1}{2} \cdot b \cdot r + \frac{1}{2} \cdot c \cdot r \\&= \frac{1}{2} \cdot r \cdot \left( a+b+c \right) \\&= r \cdot \frac{1}{2} \cdot \left( a+b+c \right) \\&= r \cdot s\end{aligned}$$
Diperoleh $\text{L ABC}=r \cdot s$, sehingga$$r=\frac{\text{L ABC}}{s}$$Dengan Formula Heron, kita dapat menentukan luas segitiga ABC. Jadi, panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga dapat dihitung dengan rumus$$r=\frac{\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}{s} \quad \text{dengan} \: s=\frac{1}{2} \cdot \left( a+b+c \right)$$Terbukti.
Contoh
Diketahui segitiga ABC dengan lingkaran dalam yang berpusat pada titik O. Lingkaran tersebut menyinggung sisi AB pada titik F, sisi BC pada titik D, dan sisi AC pada titik E. Jika panjang $\text{AF}=14$, $\text{BD}=6$, dan $\text{CE}=7$, maka hitunglah
a. keliling segitiga ABC
b. Panjang OD
Pembahasan
Buat sketsa gambar segitiga ABC.
Bagian a
Lingkaran tersebut merupakan lingkaran dalam segitiga ABC, sehingga berlaku$$\begin{aligned}\text{BF}&=\text{BD}=6 \\\text{CD}&=\text{CE}=7 \\\text{AE}&=\text{AF}=14\end{aligned}$$
Keliling segitiga ABC dapat dihitung dengan rumus$$\begin{aligned}\text{K ABC} &=\text{AB} +\text{BC} +\text{CA} \\&= \left(\text{AF} +\text{BF} \right) + \left(\text{BD} +\text{CD} \right) + \left(\text{CE} +\text{AE} \right) \\&= \left( 14 + 6 \right) + \left( 6 + 7 \right) + \left( 7 + 14 \right) \\&= 20 + 13 + 21 \\&= 54\end{aligned}$$Jadi, keliling segitiga ABC adalah 54 satuan.
Bagian b
Ruas garis OD yang menghubungkan titik O dan D merupakan jari-jari lingkaran dalam segitiga ABC. Sebelum menghitung panjang ruas garis OD, kita menghitung nilai s terlebih dahulu. Nilai s merupakan setengah dari keliling segitiga ABC. Pada bagian a, diperoleh keliling segitiga ABC adalah 54, sehingga $s=\frac{1}{2} \cdot 54 = 27$. Kita juga memerlukan panjang sisi-sisi segitiga ABC.$$\begin{aligned}a&=\text{BC}=\text{BD}+\text{CD}=6+7=13 \\b&=\text{AC}=\text{AE}+\text{CE}=14+7=21 \\c&=\text{AB}=\text{AF}+\text{BF}=14+6=20\end{aligned}$$
Panjang ruas garis OD dapat dihitung dengan rumus$$\begin{aligned}\text{OD}&=r \\&= \frac{\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}{s} \\&= \frac{\sqrt{27(27-13)(27-21)(27-20)}}{27} \\&= \frac{\sqrt{27 \cdot 14 \cdot 6 \cdot 7}}{27} \\&= \frac{\sqrt{15876}}{27} \\&= \frac{126}{27} \\&= \frac{14}{3}\end{aligned}$$Jadi, panjang ruas garis OD adalah $\frac{14}{3}$ satuan.