Ada tiga cara yang sering digunakan dalam menentukan akar-akar persamaan kuadrat, yaitu dengan pemfaktoran, melengkapkan bentuk kuadrat sempurna, dan rumus abc. Dalam tulisan ini, kita akan mempelajari cara yang kedua, yaitu dengan melengkapkan kuadrat sempurna.
Misalkan kita mempunyai bentuk berikut.$$(x-4)^2 = 9$$Dengan menguraikan bentuk kuadrat pada ruas kiri, diperoleh persamaan kuadrat berikut.$$\begin{aligned}(x-4)^2 &= 9 \\x^2-8x + 16 &= 9 \\x^2-8x + 7 &= 0\end{aligned}$$
Jika proses untuk memperoleh persamaan kuadrat di atas, kita balik, maka akan diperoleh cara menyelesaikan persamaan kuadrat yang disebut melengkapkan kuadrat sempurna.$$\begin{aligned}x^2-8x + 7 &= 0 \\x^2-8x &= -7 \\x^2-8x + 16 &= -7 + 16 \\x^2-8x + 16 &= 9 \\(x-4)^2 &= 9\end{aligned}$$
Sampai di sini, kita bisa memperoleh akar-akar persamaan kuadrat di atas. Tetapi ada satu hal yang perlu kita perhatikan, yaitu bilangan $16$ yang ditambahkan pada baris ketiga. Bilangan ini diperoleh dengan membagi koefisien $x$ dengan dua kali koefisien $x^2$, hasilnya kemudian dikuadratkan. Secara matematis, ditulis $\left( \frac{b}{2a} \right)^2$.
Pada persamaan di atas, nilai $b=-8$ dan $a = 1$, sehingga$$\left( \frac{b}{2a} \right) ^2 = \left( \frac{-8}{2 \cdot 1} \right) ^2 = ( -4 ) ^2 = 16$$
Berdasarkan proses di atas, kita bisa menuliskan langkah-langkah dalam menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna.
- Bagi kedua ruas dengan koefisien $x^2$.
- Kurangi kedua ruas dengan konstanta.
- Tambahkan $\left( \frac{b}{2a} \right)^2$ pada kedua ruas.
- Ubah ruas kiri menjadi bentuk kuadrat sempurna.
- Akarkan kedua ruas. Ingat, pada tahap ini muncul tanda $\pm$ pada ruas kanan.
- Cari akar-akar persamaan kuadrat tersebut.
Contoh 1
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat $x^2 + 8x + 12 = 0$ dengan melengkapkan kuadrat sempurna.
Pada persamaan kuadrat tersebut, diketahui $a = 1$, $b = 8$, dan $c = 12$. Koefisien $x^2$ sudah sama dengan $1$, jadi kita langsung ke langkah dua. Kurangi kedua ruas dengan nilai $c$.$$\begin{aligned}x^2 + 8x + 12-12 &= 0-12 \\x^2 + 8x &= -12\end{aligned}$$
Tambahkan $\left( \frac{b}{2a} \right) ^{2} = \left( \frac{8}{2 \cdot 1} \right) ^{2} = 16$ pada kedua ruas, sehingga$$\begin{aligned}x^2 + 8x + 16 &= -12 + 16 \\x^2 + 8x + 16 &= 4\end{aligned}$$
Ubah ruas kiri menjadi bentuk kuadrat.$$(x + 4)^2 = 4$$Akarkan kedua ruas, sehingga diperoleh$$\begin{aligned}x + 4 &= \pm 4 \\x + 4 &= \pm 2 \\x &= -4 \pm 2\end{aligned}$$
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat tersebut.$$\begin{aligned}x_1 &= -4-2 = -6 \\x_2 &= -4 + 2 = -2\end{aligned}$$Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\{-6, -2\}$.
Contoh 2
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat $x^2 + 3x-10 = 0$ dengan melengkapkan kuadrat sempurna.
Pada persamaan kuadrat tersebut, diketahui $a = 1$, $b = 3$, dan $c = -10$.$$\begin{aligned}x^2 + 3x-10 &= 0 \\x^2 + 3x &= 10\end{aligned}$$
Tambahkan $\left( \frac{b}{2a} \right) ^{2} = \left( \frac{3}{2 \cdot 1} \right) ^{2} = \frac{9}{4}$ pada kedua ruas, sehingga$$\begin{aligned}x^2 + 3x + \frac{9}{4} &= 10 + \frac{9}{4} \\\left( x + \frac{3}{2} \right)^2 &= \frac{49}{4} \\x + \frac{3}{2} &= \pm \sqrt{ \frac{49}{4}} \\x &= -\frac{3}{2} \pm \frac{7}{2}\end{aligned}$$
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat tersebut.$$\begin{aligned}x_1 &= -\frac{3}{2}-\frac{7}{2} = -\frac{10}{2} =-5 \\x_2 &= -\frac{3}{2} + \frac{7}{2} = \frac{4}{2} = 2\end{aligned}$$Jadi, himpunan penyelesaiannya $\{-5, 2\}$.
Contoh 3
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat $2x^2 + 4x-6 = 0$ dengan melengkapkan kuadrat sempurna.
Pada persamaan kuadrat tersebut, diketahui $a = 2$, $b = 4$, dan $c=-6$. Bagi kedua ruas dengan nilai $a$, karena $a \neq 1$.$$\begin{aligned}\frac{2x^2 + 4x-6}{2} &= \frac{0}{2} \\x^2 + 2x-3 &= 0 \\x^2 + 2x &= 3\end{aligned}$$
Tambahkan $\left( \frac{b}{2a} \right) ^{2} = \left( \frac{2}{2 \cdot 1} \right) ^{2} = 1$ pada kedua ruas, sehingga$$\begin{aligned}x^2 + 2x + 1 &= 3 + 1 \\(x + 1)^2 &= 4 \\x + 1 &= \pm \sqrt{4} \\x &= -1 \pm 2\end{aligned}$$
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat tersebut.$$\begin{aligned}x_1 &=-1-2 =-3 \\x_2 &=-1 + 2 = 1\end{aligned}$$Jadi, himpunan penyelesaiannya $\{-3, 1\}$.
Seperti itulah proses penyelesaian persamaan kuadrat dengan melengkapkan bentuk kuadrat sempurna. Coba bandingkan dengan dua metode lainnya. Metode mana yang menurut anda paling mudah?