KimiaMath

Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Pemfaktoran

Oleh Aiz — 22 Juni 2019

Kategori: Matematika Sekolah

Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Pemfaktoran

Ada tiga cara yang sering digunakan dalam menentukan akar-akar persamaan kuadrat, yaitu dengan pemfaktoran, melengkapkan bentuk kuadrat sempurna, dan rumus abc. Dalam tulisan ini, kita akan mempelajari cara pertama, yaitu dengan pemfaktoran.

Penyelesaian persamaan kuadrat diperoleh berdasarkan sifat berikut.

Sifat

Jika $p,q \in \mathbb{R}$ dengan $p \cdot q=0$ maka $p=0$ atau $q=0$.

Untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat, kita dapat memfaktorkannya menjadi $$(x-a)(x-b) = 0$$ Berdasarkan sifat di atas, akar-akar persamaan kuadrat ini adalah $$x-a=0 \rightarrow x=a$$ atau $$x-b=0 \rightarrow x=b$$

Berdasarkan cara memfaktorkan, persamaan kuadrat dapat dikelompokkan ke dalam empat bentuk.

Bentuk $ax^2 + bx = 0$

Bentuk semacam ini bisa difaktorkan dengan mudah. Cukup keluarkan variabel $x$ dari persamaan kuadrat, menjadi $x(ax + b) = 0$.

Contoh 1

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat $x^2+6x=0$ dengan pemfaktoran. $$\begin{aligned} x^2 + 6x &= 0 \\ x(x + 6) &= 0 \end{aligned}$$

Diperoleh $$x = 0 \text{ atau } x + 6 \Longrightarrow x = -6$$ Jadi, himpunan penyelesaiannya $\{-6, 0\}$.

Contoh 2

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat $2x^2-5x=0$ dengan pemfaktoran. $$\begin{aligned} 2x^2-5x &= 0 \\ x(2x-5) &= 0 \end{aligned}$$

Diperoleh $$x = 0 \text{ atau } 2x-5 = 0 \Longrightarrow x = \frac{5}{2}$$ Jadi, himpunan penyelesaiannya $\left\{ 0, \frac{5}{2} \right\}$.

Bentuk $ax^2-c = 0$

Persamaan kuadrat dengan bentuk seperti ini bisa difaktorkan dengan menulis $a$ dan $c$ secara berturut-turut sebagai $m^2$ dan $n^2$. Perhatikan bahwa operasi yang memisahkan kedua suku tersebut harus pengurangan. Operasinya boleh penjumlahan, dengan syarat pembaca telah paham tentang bilangan kompleks. Namun yang akan kita bahas dalam tulisan ini hanya operasi pengurangan. $$\begin{aligned} ax^2-c &= 0 \\ m^2x^2-n^2 &= 0 \\ (mx + n)(mx-n) &= 0 \end{aligned}$$

Contoh 1

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat $x^2-9=0$ dengan pemfaktoran. $$\begin{aligned} x^2-9 &= 0 \\ (x + 3)(x-3) &= 0 \end{aligned}$$

Diperoleh $$\begin{aligned} &x + 3 = 0 \Longrightarrow x = -3 \\ &\text{atau} \\ &x-3 = 0 \Longrightarrow x = 3 \end{aligned}$$ Jadi, himpunan penyelesaiannya $\{-3, 3\}$.

Contoh 2

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat $4x^2-25=0$ dengan pemfaktoran. $$\begin{aligned} 4x^2-25 &= 0 \\ (2x + 5)(2x-5) &= 0 \end{aligned}$$

Diperoleh $$\begin{aligned} &2x+5 = 0 \Longrightarrow x = -\frac{5}{2} \\ &\text{atau} \\ &2x-5 = 0 \Longrightarrow x = \frac{5}{2} \end{aligned}$$ Jadi, himpunan penyelesaiannya $\left\{ -\frac{5}{2}, \frac{5}{2} \right\}$.

Bentuk $x^2 + bx + c = 0$

Bentuk di atas merupakan persamaan kuadrat dengan $a = 1$. Untuk memfaktorkannya, cari dua bilangan yang memenuhi syarat berikut.

  • Jika dikali menghasilkan nilai c.
  • Jika dijumlah menghasilkan nilai b. Perhatikan bahwa tanda positif dan negatif di belakang b dan c, dimasukkan dalam perhitungan.

Misalkan bilangan yang memenuhi dua syarat di atas adalah m dan n. Maka bentuk tersebut bisa difaktorkan menjadi $(x + m)(x + n) = 0$.

Contoh 1

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat $x^2+7x+12=0$ dengan pemfaktoran.

Pada persamaan di atas, diketahui $a = 1$, $b = 7$, dan $c = 12$. Kita akan mencari nilai $m$ dan $n$ yang memenuhi $$\begin{aligned} \text{m} \times \text{n} &= \text{c} = 12 \\ \text{m} + \text{n} &= \text{b} = 7 \end{aligned}$$

Nilai $m$ dan $n$ yang memenuhi syarat di atas masing-masing $4$ dan $3$, sehingga $(x + 4)(x + 3) = 0$. Diperoleh $$\begin{aligned} &x + 4 = 0 \Longrightarrow x = -4 \\ &\text{atau} \\ &x + 3 = 0 \Longrightarrow x = -3 \end{aligned}$$ Jadi, himpunan penyelesaiannya $\{-4, -3\}$.

Contoh 2

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat $x^2+3x-10=0$ dengan pemfaktoran.

Pada persamaan di atas, diketahui $a = 1$, $b = 3$, dan $c = -10$. Kita akan mencari nilai $m$ dan $n$ yang memenuhi $$\begin{aligned} \text{m} \times \text{n} &= \text{c} = -10 \\ \text{m} + \text{n} &= \text{b} = 3 \end{aligned}$$

Nilai $m$ dan $n$ yang memenuhi syarat di atas adalah $5$ dan $-2$, sehingga $(x + 5)(x - 2) = 0$. Diperoleh $$\begin{aligned} &x + 5 = 0 \Longrightarrow x = -5 \\ &\text{atau} \\ &x-2 = 0 \Longrightarrow x = 2 \end{aligned}$$ Jadi, himpunan penyelesaiannya $\{-5, 2\}$.

Bentuk $ax^2 + bx + c = 0$, untuk $a \neq 1$

Metode yang digunakan hampir sama dengan bentuk sebelumnya, perbedaannya terletak pada syarat pertama. Untuk memfaktorkan persamaan kuadrat ini, kita mencari bilangan $m$ dan $n$ yang hasil kalinya $a \times c$ dan jumlahnya $b$. Tanda positif atau negatif di belakang $a$, $b$ dan $c$ disertakan dalam perhitungan. $$\begin{aligned} ax^2 + bx + c &= 0 \\ \frac{(ax + m)(ax + n)}{a} &= 0 \end{aligned}$$

Contoh 1

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat $2x^2+4x-6=0$ dengan pemfaktoran.

Pada persamaan di atas, diketahui $a = 2$, $b = 4$, dan $c = -6$. Kita akan mencari nilai $m$ dan $n$ yang memenuhi $$\begin{aligned} &\text{m} \times \text{n} = \text{a} \times \text{c} = -12 \\ &\text{m} + \text{n} = \text{b} = 4 \end{aligned}$$

Nilai $m$ dan $n$ yang memenuhi syarat di atas adalah $6$ dan $-2$, sehingga $$\begin{aligned} 2x^2 + 4x-6 &= 0 \\ \frac{(2x+6)(2x-2)}{2} &= 0 \\ \frac{2(x+3)(2x-2)}{2} &= 0 \\ (x+3)(2x-2) &= 0 \end{aligned}$$

Diperoleh $$\begin{aligned} &x+3 = 0 \Longrightarrow x=-3 \\ &\text{atau} \\ &2x-2 = 0 \Longrightarrow x=1 \end{aligned}$$ Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\{-3, 1\}$.

Contoh 2

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat $3x^2+11x+10=0$ dengan pemfaktoran.

Pada persamaan di atas, diketahui $a = 3$, $b = 11$, dan $c = 10$. Kita akan mencari nilai $m$ dan $n$ yang memenuhi $$\begin{aligned} &\text{m} \times \text{n} = \text{a} \times \text{c} = 30 \\ &\text{m} + \text{n} = \text{b} = 11 \end{aligned}$$

Bilangan $m$ dan $n$ yang memenuhi adalah $5$ dan $6$, sehingga $$\begin{aligned} 3x^2 + 11x + 10 &= 0 \\ \frac{(3x+6)(3x+5)}{3} &= 0 \\ \frac{3(x+2)(3x+5)}{3} &= 0 \\ (x+2)(3x+5) &= 0 \end{aligned}$$

Diperoleh $$\begin{aligned} &x+2 = 0 \Longrightarrow x=-2 \\ &\text{atau} \\ &3x+5 = 0 \Longrightarrow x=-\frac{5}{3} \end{aligned}$$ Jadi, penyelesaian persamaan kuadrat tersebut adalah $\left\{ -2, -\frac{5}{3} \right\}$.

Selain pemfaktoran, ada dua metode lain yang sering digunakan dalam menyelesaikan persamaan kuadrat, yaitu rumus abc dan melengkapkan kuadrat sempurna. Nah, metode mana yang paling anda sukai?

Komentar