KimiaMath

Pangkat dari Bilangan Kompleks

Oleh Aiz — 13 Juni 2019

Kategori: Analisis Kompleks

Pangkat dari Bilangan Kompleks

Dalam tulisan ini, kita akan belajar menentukan hasil pangkat dari bilangan kompleks. Misalnya, kita ingin menentukan pangkat 2 dari bilangan kompleks $2+3i$. Tentu kita dapat menentukan hasilnya dengan mudah, yaitu dengan menghitung hasil dari $(2+3i)(2+3i)$.

Namun, bagaimana jika pangkatnya adalah 12?. Mengalikan $2+3i$ dengan dirinya sendiri hingga diperoleh hasil yang diinginkan, tentu memakan waktu yang lama. Karena itu, kita memerlukan cara lain. Untuk menentukan pangkat dari bilangan kompleks, kita dapat mengubah bilangan tersebut ke dalam bentuk eksponensial terlebih dahulu.

Pertama, kita coba untuk bilangan kompleks $\cos \theta + i \sin \theta$. Bentuk eksponensial dari bilangan ini adalah $e^{i \theta}$, sehingga $$\begin{aligned} (\cos \theta + i\sin \theta)^n &= \left(e^{i \theta} \right)^n \\ &= e^{i \theta} \cdot e^{i \theta} \cdots e^{i \theta} \\ &= e^{i(\theta+\theta+\cdots+\theta)} \\ &= e^{in\theta} \\ &= \cos n\theta + i\sin n\theta \end{aligned}$$ Diperoleh $$(\cos \theta + i\sin \theta)^n=\cos n\theta + i\sin n\theta$$ Hasil ini berlaku untuk setiap bilangan asli $n$ dan disebut Teorema de Moivre.

Berikutnya, kita coba untuk bilangan kompleks secara umum. Misalkan $z$ adalah bilangan kompleks dalam bentuk eksponensial $z=re^{i \theta}$. Untuk bilangan asli $n$, diperoleh $$\begin{aligned} z^n &= \left(re^{i \theta} \right)^n \\ &= \left(re^{i \theta} \right) \cdot \left(re^{i \theta} \right) \cdots \left(re^{i \theta} \right) \\ &= (r \cdot r \cdots r) \left(e^{i \theta} \cdot e^{i \theta} \cdots e^{i \theta} \right) \\ &= r^n e^{i n \theta} \quad \ldots \text{(1)} \end{aligned}$$

Formula (1) juga berlaku untuk $n=0$. Jika $n$ adalah bilangan bulat negatif, maka $z^n= \left(z^{-1} \right)^{-n}$, dengan $-n$ bilangan asli. Dalam tulisan sebelumnya, kita telah membahas tentang invers dari bilangan kompleks $z$ dalam bentuk eksponensial, yaitu $z^{-1}=\frac{1}{r}e^{-i \theta}$. Berdasarkan formula (1), diperoleh $$\begin{aligned} z^n &= \left(z^{-1} \right)^{-n} \\ &= \left( \frac{1}{r}e^{i (-\theta)} \right)^{-n} \\ &= \left( \frac{1}{r} \right) ^{-n} e^{i (-\theta)(-n)} \\ &= r^n e^{in \theta} \end{aligned}$$

Jadi. untuk setiap bilangan bulat $n$ dan bilangan kompleks dalam bentuk eksponensial $z=re^{i\theta}$, berlaku $$z^n=r^n e^{in \theta}$$ Agar lebih jelas, kita akan membahas beberapa contoh soal. Dalam contoh soal, kita akan menggunakan notasi $r \cdot \text{exp}(i\theta)$ untuk $re^{i\theta}$.

Contoh 1

Tentukan hasil dari $(-1+i)^8$.

Pembahasan

Bentuk eksponensial dari $-1+i$ adalah $\sqrt{2} \cdot \text{exp} \left( i \frac{3\pi}{4} \right)$, sehingga $$\begin{aligned} (-1+i)^8 &= \left[ \sqrt{2} \cdot \text{exp} \left( i \frac{3\pi}{4} \right) \right]^8 \\ &= (\sqrt{2})^8 \cdot \text{exp} \left( i \cdot 8 \cdot \frac{3\pi}{4} \right) \\ &= 16 \cdot \text{exp} ( i \cdot 6\pi ) \end{aligned}$$

Contoh 2

Tentukan hasil dari $(1-\sqrt{3}i)^{12}$.

Pembahasan

Bentuk eksponensial dari $1-\sqrt{3}i$ adalah $\sqrt{2} \cdot \text{exp} \left( i \frac{5\pi}{3} \right)$, sehingga $$\begin{aligned} (1-\sqrt{3}i)^{12} &= \left[ \sqrt{2} \cdot \text{exp} \left( i \frac{5\pi}{3} \right) \right]^{12} \\ &= (\sqrt{2})^{12} \cdot \text{exp} \left( i \cdot 12 \cdot \frac{5\pi}{3} \right) \\ &= 64 \cdot \text{exp} ( i \cdot 20\pi ) \end{aligned}$$

Komentar