Pembuktian Turunan tan x dan cot x

Masih melanjutkan postingan tentang turunan fungsi trigonometri, kali ini kita akan membuktikan turunan $\tan x$ dan turunan $\cot x$.$$\begin{aligned}D_x \left( \tan x \right) &= \sec ^2 x \\D_x \left( \cot x \right) &= -\csc ^2 x\end{aligned}$$

Turunan $\tan x$

Kita mulai dengan mengubah $\tan x$ menjadi hasil bagi antara $\sin x$ dan $\cos x$.$$D_x \left( \tan x \right) =D_x \left( \frac{\sin x}{\cos x} \right)$$

Dengan menggunakan aturan pembagian diperoleh$$D_x \left( \tan x \right) =\frac{\cos x \cdot D_x (\sin x)-\sin x \cdot D_x (\cos x)}{(\cos x)^2}$$

Diketahui bahwa $D_x \left( \sin x \right) =\cos x$ (BUKTI) dan $D_x \left( \cos x \right) =-\sin x$ (BUKTI), sehingga$$\begin{aligned}D_x \left( \tan x \right) &= \frac{\cos x \cdot \cos x -\sin x \cdot (-\sin x)}{(\cos x)^2} \\&= \frac{\cos ^2 x + \sin ^2 x}{(\cos x)^2}\end{aligned}$$

Ingat identitas trigonometri: $\sin ^2 x + \cos ^2 x = 1$.$$\begin{aligned}D_x \left( \tan x \right) &= \frac{1}{(\cos x)^2} \\&= \sec ^2 x\end{aligned}$$Terbukti. Selanjutnya kita melangkah ke pembuktian turunan $\cot x$.

Turunan $\cot x$

Kita mulai dengan menulis $\cot x$ sebagai hasil bagi antara $\cos x$ dengan $\sin x$.$$D_x \left( \cot x \right) =D_x \left( \frac{\cos x}{\sin x} \right)$$

Dengan menggunakan aturan pembagian, diperoleh$$D_x \left( \cot x \right) =\frac{\sin x \cdot D_x (\cos x) - \cos x \cdot D_x (sin x)}{(\sin x)^2}$$

Diketahui $D_x (\sin x)=\cos x$ dan $D_x (\cos x)=-\sin x$, sehingga$$\begin{aligned}D_x \left( \cot x \right) &= \frac{\sin x \cdot (- \sin x) - \cos x \cdot \cos x}{(\sin x)^2} \\&= \frac{- \sin ^2 x - \cos ^2 x}{(\sin x)^2} \\&= \frac{- (\sin ^2 x + \cos ^2 x)}{(\sin x)^2} \\&= -\frac{1}{(\sin x)^2} \\&= -\csc ^2 x\end{aligned}$$Terbukti.

Selain dengan aturan pembagian, kita juga bisa membuktikan turunan fungsi-fungsi di atas dengan menggunakan definisi turunan. Untuk pembuktian dengan cara ini, saya serahkan kepada pembaca. Silakan mencoba.