KimiaMath

Pembahasan Soal ON MIPA-PT Matematika Tahun 2018 Aljabar Linear (Isian)

Oleh Aiz — 21 Juni 2019

Kategori: Olimpiade Matematika

Pembahasan Soal ON MIPA-PT Matematika Tahun 2018 Aljabar Linear (Isian)

Dalam tulisan ini, kita akan membahas soal Aljabar Linear dalam ON MIPA-PT Matematika Tahun 2018. Soal Aljabar Linear terdiri dari delapan soal isian singkat dan tiga soal uraian. Dalam tulisan ini, kita akan membahas soal isian singkat. Tiga soal uraian akan dibahas dalam tulisan terpisah, Insya Allah.

Nomor 1

$$\left[ \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{array} \right] ^{2018} = \cdots$$

Pembahasan

Pekerjaan kita akan lebih mudah, jika matriks yang dipangkatkan dapat didiagonalkan. Namun, pembaca dapat mengecek bahwa matriks tersebut tidak dapat didiagonalkan. Oleh karena itu, kita perlu menggunakan cara lain. Kita mulai dengan menulis pangkat 2018 sebagai hasil kali antara 2 dan 1009. $$\begin{aligned} \left[ \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{array} \right] ^{2018} &= \left( \left[ \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{array} \right] ^2 \right) ^{1009} \\ &= \left[ \begin{array}{cc} 4 & 4 \\ 0 & 4 \end{array} \right] ^{1009} \\ &= \left( 2^2 \left[ \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right] \right) ^{1009} \\ &= 2^{2018} \left[ \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right] ^{1009} \end{aligned}$$

Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} \left[ \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right] ^2 &= \left[ \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} \right] \\ \left[ \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right] ^3 &= \left[ \begin{array}{cc} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{array} \right] \\ \left[ \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right] ^4 &= \left[ \begin{array}{cc} 1 &4 \\ 0 & 1 \end{array} \right] \\ &\vdots \\ \left[ \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right] ^{1009} &= \left[ \begin{array}{cc} 1 & 1009 \\ 0 & 1 \end{array} \right] \\ \end{aligned}$$

Sehingga diperoleh hasil berikut $$\left[ \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{array} \right] ^{2018} = 2^{2018} \left[ \begin{array}{cc} 1 & 1009 \\ 0 & 1 \end{array} \right]$$

Nomor 2

Jika $A=\left[ \begin{array}{cccc} \alpha & 1 & 1 & 1 \\ 1 & \alpha & 1 & 1 \\ 1 & 1 & \beta & 1 \\ 1 & 1 & 1 & \beta \end{array} \right]$ dengan $\alpha^2 \neq 1 \neq \beta^2$, maka $\text{det}(A)=\cdots$

Pembahasan

Determinan matriks $4 \times 4$ dapat dihitung menggunakan ekspansi kofaktor. Namun, menggunakan metode ini secara langsung, akan memakan waktu yang cukup lama dan proses yang cukup panjang. Oleh karena itu, kita akan menggunakan operasi baris elementer, sebelum menggunakan ekspansi kofaktor. Kita mulai dari $$\text{det}(A) = \left| \begin{array}{cccc} \alpha & 1 & 1 & 1 \\ 1 & \alpha & 1 & 1 \\ 1 & 1 & \beta & 1 \\ 1 & 1 & 1 & \beta \end{array} \right|$$

Tambahkan (-1) kali baris kedua ke baris pertama dan (-1) kali baris ketiga ke baris keempat. $$\text{det}(A) = \left| \begin{array}{cccc} \alpha-1 & 1-\alpha & 0 & 0 \\ 1 & \alpha & 1 & 1 \\ 1 & 1 & \beta & 1 \\ 0 & 0 & 1-\beta & \beta-1 \end{array} \right|$$

Ingat bahwa, untuk skalar tak nol $k$ dan matriks persegi $A$, berlaku $|kA|=k|A|$, sehingga $$\text{det}(A) = ( \alpha-1 ) ( \beta-1 ) \left| \begin{array}{cccc} 1 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & \alpha & 1 & 1 \\ 1 & 1 & \beta & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \end{array} \right|$$

Tambahkan (-1) kali baris pertama ke baris kedua dan ketiga. $$\text{det}(A) = ( \alpha-1 ) ( \beta-1 ) \left| \begin{array}{cccc} 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & \alpha+1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & \beta & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \end{array} \right|$$

Dengan ekspansi kofaktor sepanjang kolom pertama, diperoleh $$\text{det}(A) = ( \alpha-1 ) ( \beta-1 ) \left| \begin{array}{ccc} \alpha+1 & 1 & 1 \\ 2 & \beta & 1 \\ 0 & -1 & 1 \end{array} \right|$$

Tambahkan (-1) kali baris ketiga ke baris pertama dan baris kedua. $$\text{det}(A) = ( \alpha-1 ) ( \beta-1 ) \left| \begin{array}{ccc} \alpha+1 & 2 & 0 \\ 2 & \beta+1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{array} \right|$$

Dengan ekspansi kofaktor sepanjang kolom ketiga, dilanjutkan dengan menentukan determinan matriks $2 \times 2$ yang terbentuk, diperoleh $$\begin{aligned} \text{det}(A) &= ( \alpha-1 ) ( \beta-1 ) \left| \begin{array}{cc} \alpha+1 & 2 \\ 2 & \beta+1 \end{array} \right| \\ &= ( \alpha-1 ) ( \beta-1 ) \left[ (\alpha+1)(\beta+1)-4 \right] \\ &= (\alpha^2-1)(\beta^2-1)-4(\alpha-1)(\beta-1) \end{aligned}$$

Nomor 3

Diberikan vektor-vektor $\left[ \begin{array}{cc} -1 & 2 \\ 1 & -3 \end{array} \right]$, $\left[ \begin{array}{cc} 3 & -6 \\ -3 & 9 \end{array} \right]$, $\left[ \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ -1 & 2 \end{array} \right]$, $\left[ \begin{array}{cc} 3 & -3 \\ -3 & 8 \end{array} \right]$ di $\mathbb{R}^{2 \times 2}$. Salah satu basis subruang dari $\mathbb{R}^{2 \times 2}$ yang dibangun oleh keempat vektor tersebut adalah....

Pembahasan

Sebelum masuk pada pembahasan, kita perlu mengingat teorema berikut.

Teorema Plus/Minus

Misalkan $S$ adalah himpunan vektor tak kosong dalam ruang vektor $V$.
  1. Jika $S$ himpunan bebas linear dan $v$ adalah vektor di $V$ di luar $\text{span}(S)$, maka himpunan $S \cup \{v\}$ masih bebas linear.
  2. Jika $v$ adalah vektor di $S$ yang dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor lain di $S$, maka $S$ dan $S-\{v\}$ membangun ruang yang sama, yaitu $\text{span}(S)=\text{span}(S-\{v\})$.

Misalkan $M_1=\left[ \begin{array}{cc} -1 & 2 \\ 1 & -3 \end{array} \right]$, $M_2=\left[ \begin{array}{cc} 3 & -6 \\ -3 & 9 \end{array} \right]$, $M_3=\left[ \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ -1 & 2 \end{array} \right]$, $M_4\left[ \begin{array}{cc} 3 & -3 \\ -3 & 8 \end{array} \right]$, dan $W$ adalah subruang yang dibangun oleh $M_1$, $M_2$, $M_3$, dan $M_4$, yaitu $W=\text{span}\{M_1,M_2,M_3,M_4\}$.

Kita akan menentukan basis dari $W$. Melalui inspeksi, diperoleh $M_2=-3\cdot M_1$. Berdasarkan Teorema Plus/Minus, diperoleh $$W=\text{span}\{M_1,M_2,M_3,M_4\}=\text{span}\{M_1,M_3,M_4\}$$ Perhatikan bahwa $M_4=-2\cdot M_1+M_3$. Berdasarkan Teorema Plus/Minus, diperoleh $$W=\text{span}\{M_1,M_3,M_4\}=\text{span}\{M_1,M_3\}$$ $M_1$ dan $M_3$ tidak saling berkelipatan, sehingga $\{ M_1,M_3 \}$ adalah himpunan bebas linear.

Himpunan $\{ M_1,M_3 \}$ bebas linear dan $W=\text{span}\{M_1,M_3\}$ mengakibatkan $\{ M_1,M_3 \}$ adalah basis dari $W$.

Jadi, basis subruang dari $\mathbb{R}^{2 \times 2}$ yang dibangun oleh keempat vektor tersebut adalah $\left\{ \left[ \begin{array}{cc} -1 & 2 \\ 1 & -3 \end{array} \right], \left[ \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ -1 & 2 \end{array} \right] \right\}$.

Nomor 4

Pemetaan $f:\mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}$ didefinisikan sebagai $$f(u,v)=u_1v_1-3u_2v_1-3u_1v_2+ku_2v_2$$ untuk setiap $u=(u_1,u_2,u_3)$ dan $v=(v_1,v_2,v_3)$ di $\mathbb{R}^3$. Himpunan semua nilai $k$ yang membuat $f$ hasil kali dalam di $\mathbb{R}^3$ adalah....

Pembahasan

Pemetaan $f$ tidak memenuhi aksioma positivitas. Karena $\langle u,u \rangle = 0$ tidak hanya dipenuhi oleh $u=0=(0,0,0)$, namun juga $u=(0,0,a)$, dengan $a \in \mathbb{R}$.

Jadi, himpunan semua nilai $k$ yang membuat $f$ hasil kali dalam di $\mathbb{R}^3$ adalah $\emptyset$.

Nomor 5

Matriks $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ memenuhi $A^TA=A^TA=4I$. Himpunan semua nilai eigen $A$ adalah....

Pembahasan

Misal $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ yang memenuhi $A^TA=A^TA=4I$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} A^TA &= AA^T&= 4I \\ \frac{1}{4}A^TA &= \frac{1}{4}AA^T&= I \\ \left( \frac{1}{2}A^T \right) \left( \frac{1}{2}A \right) &= \left( \frac{1}{2}A \right) \left( \frac{1}{2}A^T \right)&= I \\ \left( \frac{1}{2}A \right)^T \left( \frac{1}{2}A \right) &= \left( \frac{1}{2}A \right) \left( \frac{1}{2}A \right)^T&= I \end{aligned}$$

Dari persamaan di atas, diperoleh $\left( \frac{1}{2}A \right)^{-1}=\left( \frac{1}{2}A \right)^T$. Ini artinya, $\frac{1}{2}A$ matriks orthogonal.

Teorema

Misalkan $M$ matriks real orthogonal $n \times n$ dan $\lambda$ nilai eigen $M$, maka $| \lambda | = 1$.

Berdasarkan teorema di atas, $\lambda$ adalah nilai eigen $A$, dengan $| \lambda |=1$. Misalkan $x$ adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan $\lambda$. Berdasarkan definisi nilai eigen, diperoleh $$\begin{aligned} \left( \frac{1}{2}A \right)x &= \lambda x \\ Ax &= (2\lambda)x \end{aligned}$$ Dari persamaan di atas, diperoleh $2\lambda$ sebagai nilai eigen $A$.

Jadi, himpunan semua nilai eigen $A$ adalah $\{ 2\lambda \: | \: |\lambda|=1 \}$.

Nomor 6

Misalkan $D:P_2 \rightarrow P_2$ dengan $D(a_2x^2+a_1x+a_0)=2a_2x+a_1$, untuk semua $a_2,a_1,a_0 \in \mathbb{R}$. Nilai eigen pemetaan $D^2+D+I$ mempunyai multiplisitas geometri....

Pembahasan

Pertama, kita akan menentukan matriks representasi dari $D$, misalnya $A$. Basis standar $P_2$ adalah $B=\{ 1,x,x^2 \}$. Peta setiap anggota basis oleh $D$ adalah $$\begin{aligned} D(1) &= 0 \\ D(x) &= 1 \\ D(x^2) &= 2x \end{aligned}$$ dengan koordinat $$\begin{aligned} [D(1)]_B &= \left[ \begin{array}{c} 0\\0\\0 \end{array} \right] \\ [D(x)]_B &= \left[ \begin{array}{c} 1\\0\\0 \end{array} \right] \\ [D(x^2)]_B &= \left[ \begin{array}{c} 0\\2\\0 \end{array} \right] \\ \end{aligned}$$ Sehingga $$A=\left[ \begin{array}{ccc} 0&1&0\\ 0&0&2\\ 0&0&0 \end{array} \right]$$

Selanjutnya, kita menentukan matriks representasi dari $D^2+D+I$, yaitu $$\begin{aligned} C &= A^2+A+I \\ &= \left[ \begin{array}{ccc} 0&1&0\\ 0&0&2\\ 0&0&0 \end{array} \right]^2 + \left[ \begin{array}{ccc} 0&1&0\\ 0&0&2\\ 0&0&0 \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{ccc} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{array} \right] \\ &= \left[ \begin{array}{ccc} 0&0&2\\ 0&0&0\\ 0&0&0 \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{ccc} 0&1&0\\ 0&0&2\\ 0&0&0 \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{ccc} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{array} \right] \\ &= \left[ \begin{array}{ccc} 1&1&2\\ 0&1&2\\ 0&0&1 \end{array} \right] \end{aligned}$$

Matriks $C$ adalah matriks segitiga atas, sehingga nilai eigennya adalah entri-entri pada diagonal utama. Nilai eigen pemetaan $D^2+D+I$ adalah $\lambda=1$.

Multiplisitas geometri dari nilai eigen $\lambda=1$ dihitung dengan menentukan basis ruang eigen terlebih dahulu. Misalkan $x$ adalah vektor eigen yang bersesuaian $$\begin{aligned} (\lambda I-C)x &= 0 \\ \left[ \begin{array}{ccc} 0&-1&-2\\ 0&0&-2\\ 0&0&0 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} x_1\\x_2\\x_3 \end{array} \right] &= \left[ \begin{array}{c} 0\\0\\0 \end{array} \right] \\ \left[ \begin{array}{c} -x_2-2x_3\\-2x_3\\0 \end{array} \right] &= \left[ \begin{array}{c} 0\\0\\0 \end{array} \right] \end{aligned}$$

Diperoleh sistem persamaan linear $$\begin{aligned} &-x_2-2x_3 = 0 \\ &-2x_3 = 0 \end{aligned}$$ yang mempunyai solusi $x_1=t$, $x_2=0$, $x_3=0$. Akibatnya, basis ruang eigen yang bersesuaian dengan $\lambda=1$ adalah $\left\{ \left[ \begin{array}{c} 1\\0\\0 \end{array} \right] \right\}$.

Multiplisitas geometri dari nilai eigen adalah banyaknya vektor basis pada ruang eigen yang bersesuaian. Jadi, nilai eigen pemetaan $D^2+D+I$ mempunyai multiplisitas geometri 1.

Nomor 7

Misalkan $K$ adalah ruang nol matriks $\left[ \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 0 & -1 & -1 \end{array} \right]$. Maka $K^{\perp}=\cdots$

Pembahasan

Komplemen orthogonal dari ruang nol matriks adalah ruang baris matriks tersebut. Sehingga $$K^{\perp}=\text{span} \left\{ \left[ \begin{array}{ccc} 0&1&1 \end{array} \right], \left[ \begin{array}{ccc} 1&2&2 \end{array} \right], \left[ \begin{array}{ccc} 0&-1&-1 \end{array} \right] \right\}$$

Nomor 8

Misalkan $T:\mathbb{R}^{2\times2} \rightarrow \mathbb{R}^{2\times2}$ dengan $T\left( \left[ \begin{array}{cc} a&b\\c&d \end{array} \right] \right) = \left[ \begin{array}{cc} b&-a\\d&-c \end{array} \right]$, untuk semua bilangan real $a$, $b$, $c$, $d$. Himpunan $X= \left\{ \left[ \begin{array}{cc} 1&0\\0&0 \end{array} \right], \left[ \begin{array}{cc} 1&1\\0&0 \end{array} \right], \left[ \begin{array}{cc} 1&0\\1&0 \end{array} \right], \left[ \begin{array}{cc} 1&0\\0&1 \end{array} \right] \right\}$ adalah basis $\mathbb{R}^{2\times2}$. Maka $[T]_X=\cdots$

Pembahasan

Pertama, kita akan menentukan peta setiap anggota basis oleh $T$. $$\begin{aligned} T\left( \left[ \begin{array}{cc} 1&0\\0&0 \end{array} \right] \right) &= \left[ \begin{array}{cc} 0&-1\\0&0 \end{array} \right] \\ T\left( \left[ \begin{array}{cc} 1&1\\0&0 \end{array} \right] \right) &= \left[ \begin{array}{cc} 1&-1\\0&0 \end{array} \right] \\ T\left( \left[ \begin{array}{cc} 1&0\\1&0 \end{array} \right] \right) &= \left[ \begin{array}{cc} 0&-1\\0&-1 \end{array} \right] \\ T\left( \left[ \begin{array}{cc} 1&0\\0&1 \end{array} \right] \right) &= \left[ \begin{array}{cc} 0&-1\\1&0 \end{array} \right] \end{aligned}$$

Kemudian, kita cari koordinat masing-masing terhadap basis $X$. $$\begin{aligned} \left[ T\left( \left[ \begin{array}{cc} 1&0\\0&0 \end{array} \right] \right) \right]_X &= \left[ \begin{array}{c} 1\\-1\\0\\0 \end{array} \right] \\ \left[ T\left( \left[ \begin{array}{cc} 1&1\\0&0 \end{array} \right] \right) \right]_X &= \left[ \begin{array}{c} 2\\-1\\0\\0 \end{array} \right] \\ \left[ T\left( \left[ \begin{array}{cc} 1&0\\1&0 \end{array} \right] \right) \right]_X &= \left[ \begin{array}{c} 2\\-1\\0\\-1 \end{array} \right] \\ \left[ T\left( \left[ \begin{array}{cc} 1&0\\0&1 \end{array} \right] \right) \right]_X &= \left[ \begin{array}{c} 0\\-1\\1\\0 \end{array} \right] \\ \end{aligned}$$

Matriks $[T]_X$ terbentuk dari keempat matriks kolom di atas. Dengan demikian, $$[T]_X = \left[ \begin{array}{cccc} 1&2&2&0\\ -1&-1&-1&-1\\ 0&0&0&1\\ 0&0&-1&0 \end{array} \right]$$

Semoga bermanfaat! Jika ada yang perlu diperbaiki atau anda punya solusi yang berbeda, silakan beritahu melalui komentar.

Komentar