Dalam matematika, dikenal banyak metode pembuktian. Misalnya, induksi matematika yang telah dipelajari pada jenjang SMA, pembuktian langsung, pembuktian tanpa kata, dan pembuktian dengan kontradiksi. Sesuai judul, kita tidak akan membahas semua metode tersebut. Kita akan fokus pada metode pembuktian dengan kontradiksi. Metode pembuktian ini digunakan untuk membuktikan berbagai teorema, misalnya dua teorema berikut.

Teorema 1

Akar bilangan prima adalah bilangan irasional.

Teorema 2

Misalkan $B$ adalah basis dari ruang vektor $V$. Jika $v$ adalah suatu vektor dalam $V$ maka $v$ dapat dinyatakan secara tunggal sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor di $B$.

Dalam tulisan ini, kita tidak akan membuktikan kedua teorema di atas. Namun, kita akan mengulas fakta bahwa pembuktian dengan kontradiksi tidak hanya digunakan dalam matematika. Secara sadar atau tidak, kita mungkin pernah menggunakan metode ini dalam kehidupan sehari-hari.

Misalkan $P$ adalah sebuah pernyataan yang akan kita buktikan. Dalam pembuktian dengan kontradiksi, kita andaikan pernyataan $P$ bernilai salah. Dengan kata lain, negasi dari $P$, ditulis $\lnot P$, bernilai benar. Melalui proses tertentu, ternyata kita mendapati dua buah pernyataan yang kontradiktif ($Q$ dan $\lnot Q$). Karena itu, pengandaian sebelumnya ($P$ bernilai salah) tidak boleh dilakukan. Dengan demikian, pernyataan $P$ seharusnya bernilai benar.

Melalui status WhatsApp, saya mengajukan sebuah permasalahan dan meminta tanggapan dari teman-teman yang melihat status tersebut. Kita akan mengulas permasalahan tersebut dalam tulisan ini.

Masalah

Seseorang memberitahu bahwa ada pencuri yang masuk ke rumah anda. Apa yang akan anda lakukan?

PEMBAHASAN

Kita perlu memeriksa kebenaran informasi yang disampaikan, baik jika orang tersebut terpercaya maupun jika orang tersebut tidak terpercaya. Meskipun sumbernya tidak terpercaya, kita tidak akan langsung men-judge bahwa orang tersebut berbohong, jika berkaitan dengan hal ini.

Jawaban yang diberikan atas permasalahan ini relatif sama. Kita perlu memeriksa apakah ada tanda-tanda telah terjadi pencurian di dalam rumah. Tanda-tanda yang dimaksud misalnya barang berharga hilang atau malah menemukan pencuri tersebut masih berada di dalam rumah. Jika barang-barang berharga masih ada dan tidak ditemukan tanda-tanda lainnya, maka sebenarnya tidak ada pencuri yang masuk ke dalam rumah. Orang yang memberi informasi tersebut mungkin salah paham terhadap orang asing (baginya) yang ia lihat masuk ke dalam rumah. Mari berprasangka baik. :)

Jika diperhatikan sekilas, jawaban ini tidak punya kaitan dengan pembuktian kontradiksi. Namun, coba kita perhatikan dengan seksama.

Meskipun orang yang memberi informasi adalah orang yang tidak kita percayai, kita tidak akan langsung men-judge bahwa orang tersebut berbohong. Apalagi jika orang tersebut adalah orang yang kita percayai.Secara tidak langsung, dalam hati, kita telah mengandaikan bahwa ada pencuri yang masuk ke dalam rumah. Sebab jika tidak, untuk apa kita memeriksa kebenaran informasi tersebut?

Berikutnya, kita memeriksa apakah ada tanda-tanda telah terjadi pencurian dalam rumah. Mengapa kita memeriksanya? Karena kita telah membangun asumsi: jika memang ada pencuri maka pasti ada tanda-tanda, misalnya barang berharga yang kita miliki menghilang. Atau bukti paling kuat, yah, kita mendapati pencuri tersebut di dalam rumah.

Setelah kita memeriksa, ternyata tidak ada tanda-tanda telah terjadi pencurian. Kita tidak mendapati pencuri di dalam rumah, barang-barang berharga pun masih lengkap. Perhatikan kalimat yang saya cetak tebal dalam paragraf di atas.

Pengandaian: Ada pencuri yang masuk ke dalam rumahPernyataan 1: Ada tanda-tanda telah terjadi pencurianPernyataan 2: Tidak ada tanda-tanda telah terjadi pencurian

Pernyataan 1 dan 2 di atas merupakan pernyataan yang kontradiktif. Dan pernyataan ini berawal dari pengandaian bahwa ada pencuri yang masuk ke dalam rumah. Artinya, pengandaian ini tidak boleh dilakukan. Dengan demikian, tidak ada pencuri yang masuk ke dalam rumah.

Bagaimana? Alur berpikirnya sejalan dengan pembuktian kontradiksi, bukan?Jadi, pembuktian dengan kontradiksi sebenarnya bukan hal baru bagi kita. Meskipun secara tidak sadar, mungkin kita pernah menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari. Baik itu sebelum ataupun setelah mempelajari metode pembuktian ini dalam matematika. :)