KimiaMath

Pembuktian Rumus ABC (Rumus Kuadrat)

Oleh Aiz — 22 Juni 2019

Kategori: Matematika Sekolah

Pembuktian Rumus ABC (Rumus Kuadrat)

Rumus abc (rumus kuadrat) digunakan dalam menentukan akar-akar persamaan kuadrat. Rumus ini biasanya digunakan pada persamaan kuadrat yang sulit diselesaikan dengan pemfaktoran. Namun oleh sebagian orang, rumus ini dijadikan sebagai metode utama.

Rumus ini berasal dari bentuk umum persamaan kuadrat yang diselesaikan dengan melengkapkan bentuk kuadrat sempurna. Jadi, sebelum melangkah ke pembuktian rumus abc, sebaiknya anda membaca langkah-langkah penyelesaian persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna.

Kita akan membuktikan rumus abc dengan dua cara.

Cara 1

Pembuktian ini kita mulai dari bentuk umum persamaan kuadrat. $$ax^2 + bx + c = 0, \quad a \neq 0$$

Agar dapat diubah menjadi bentuk kuadrat yang sederhana, maka kedua ruas persamaan dibagi dengan $a$. Pembagian dengan $a$ dibolehkan, mengingat $a \neq 0$. $$\begin{aligned} \frac{ax^2 + bx + c}{a} &= \frac{0}{a} \\ x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} &= 0 \end{aligned}$$

Tambahkan kedua ruas dengan $-\frac{c}{a}$. $$x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}$$

Tambahkan $\left( \frac{b}{2a} \right) ^2$ pada kedua ruas. $$x^2 + \frac{b}{a}x + \left( \frac{b}{2a} \right) ^2 = -\frac{c}{a} + \left( \frac{b}{2a} \right) ^2$$

Ubah ruas kiri menjadi bentuk kuadrat dan sederhanakan ruas kanan. $$\begin{aligned} \left( x + \frac{b}{2a} \right) ^2 &= -\frac{c}{a} + \frac{b^2}{4a^2} \\ \left( x + \frac{b}{2a} \right) ^2 &= -\frac{4ac}{4a^2} + \frac{b^2}{4a^2} \\ \left( x + \frac{b}{2a} \right) ^2 &= \frac{b^2-4ac}{4a^2} \\ x + \frac{b}{2a} &= \pm \sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}} \\ x &= -\frac{b}{2a} \pm \sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}} \\ x &= -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ x &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{aligned}$$

Cara 2

Pada cara sebelumnya, kita membagi kedua ruas dengan $a$, agar koefisien $x^2$ berbentuk kuadrat. Nah, kali ini kita mengalikan kedua ruas dengan $4a$, sehingga koefisien $x^2$ adalah $4a^2=(2a)^2$. Kita juga dapat mengalikan kedua ruas dengan $a$ atau bentuk lainnya. Kita mulai dari bentuk umum persamaan kuadrat. $$ax^2 + bx + c = 0$$

Kalikan kedua ruas persamaan dengan $4a$, sehingga diperoleh $$4a^2 x^2 + 4abx + 4ac = 0$$

Kurangi kedua ruas dengan $4ac$, sehingga $$4a^2 x^2 + 4abx = -4ac$$

Tambahkan $b^2$ pada kedua ruas. $$4a^2 x^2 + 4abx + b^2 = b^2 {}- 4ac$$

Ubah ruas kiri menjadi bentuk kuadrat sempurna. $$(2ax + b)^2 = b^2 {}- 4ac$$

Tarik akar pada kedua ruas. $$2ax + b = \pm \sqrt{b^2 {}- 4ac}$$

Kurangi kedua ruas dengan $b$. $$2ax = -b \pm {} \sqrt{b^2 {}- 4ac}$$

Bagi kedua ruas dengan $2a$. $$x = \frac{-b \pm {} \sqrt{b^2 {}- 4ac}}{2a}$$ Terbukti.

Inilah rumus abc yang sering kita gunakan dalam menyelesaikan persamaan kuadrat. Untuk penjelasan lebih lanjut mengenai penggunaan rumus ini, silahkan baca tulisan berjudul Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Rumus ABC.

Komentar