KimiaMath

Menghitung Tinggi Segitiga Sembarang dengan Aturan Cosinus

Oleh Aiz — 22 Juni 2019

Kategori: Geometri

Menghitung Tinggi Segitiga Sembarang dengan Aturan Cosinus

Garis tinggi adalah garis yang ditarik dari titik sudut tegak lurus terhadap sisi di hadapannya. Titik perpotongan ketiga garis tinggi segitiga disebut orthocenter. Ada beberapa cara untuk menghitung panjang garis tinggi segitiga sembarang, misalnya dengan menggunakan rumus pythagoras, sebagaimana dibahas dalam tulisan berjudul Menghitung Tinggi Segitiga Sembarang dengan Teorema Pythagoras.

Kali ini, kita akan menghitung tinggi segitiga dengan cara yang lain, yaitu dengan menghitung cosinus salah satu sudut terlebih dahulu. Nilai cosinus dari sudut tersebut dihitung dengan dengan aturan cosinus.

Contoh 1

Diketahui sebuah segitiga $\text{ABC}$ dengan panjang $\text{AB=21 cm}$, $\text{BC=20 cm}$, dan $\text{AC=13 cm}$. Tentukan tinggi segitiga dari titik sudut $\text{C}$.

Pembahasan

Pertama, kita buat sketsa segitiga tersebut. Kita misalkan garis tinggi dari titik $\text{C}$ adalah $\text{CD}$.

Menentukan tinggi segitiga sembarang

Kita akan menghitung nilai $\cos A$ dengan memanfaatkan aturan cosinus pada segitiga $\text{ABC}$. $$\begin{aligned} \text{BC}^2 &= \text{AB}^2 + \text{AC}^2-2\cdot \text{AB} \cdot \text{AC} \cdot \cos A \\ 20^2 &= 21^2 +13^2-2 \cdot 21 \cdot 13 \cdot \cos A \\ 400 &= 441+169-546\cdot\cos A \\ 400 &=610-546\cdot\cos A \\ 546\cdot\cos A &=210 \\ \cos A &= \frac{210}{546} \\ \cos A &= \frac{5}{13} \end{aligned}$$

Berikutnya, kita hitung $\sin A$ menggunakan sifat trigonometri berikut. $$\begin{aligned} \sin ^2 A + \cos ^2 A &= 1 \\ \sin ^2 A &= 1 - \cos ^2 A \\ \sin ^2 A &= 1 - ( \frac{5}{13} )^2 \\ \sin ^2 A &= 1 - \frac{25}{169} \\ \sin ^2 A &= \frac{144}{169} \\ \sin A &= \sqrt{ \frac{144}{169} } \\ \sin A &= \frac{12}{13} \end{aligned}$$

Perhatikan segitiga siku-siku $\text{ACD}$. Pada segitiga ini, berlaku $$\begin{aligned} \sin A &= \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi miring}} \\ \sin A &= \frac{\text{CD}}{\text{AC}} \\ \frac{12}{13} &= \frac{\text{CD}}{13} \\ \text{CD} &= \frac{12 \cdot 13}{13} \\ \text{CD} &= 12 \end{aligned}$$ Jadi, tinggi segitiga $\text{ABC}$ dari titik $\text{C}$ adalah $\text{12 cm}$.

Contoh 2

Diketahui sebuah segitiga $\text{ABC}$ dengan panjang $\text{AB=15 cm}$, $\text{BC=13 cm}$, dan $\text{AC=14 cm}$. Tentukan tinggi segitiga dari titik sudut $\text{B}$.

Pembahasan

Pertama, kita buat sketsa segitiga tersebut. Kita misalkan garis tinggi dari titik $\text{B}$ adalah $\text{BD}$.

Menentukan tinggi segitiga sembarang

Kita akan menghitung nilai $\cos C$ dengan memanfaatkan aturan cosinus pada segitiga $\text{ABC}$. $$\begin{aligned} \text{AB}^2 &= \text{AC}^2 + \text{BC}^2-2\cdot \text{AC} \cdot \text{BC} \cdot \cos C \\ 15^2 &= 14^2 +13^2-2 \cdot 14 \cdot 13 \cdot \cos C \\ 225 &= 196+169-364\cdot\cos C \\ 225 &=365-364\cdot\cos C \\ 364\cdot\cos C &= 140 \\ \cos C &= \frac{140}{364} \\ \cos C &= \frac{35}{91} \end{aligned}$$

Berikutnya, kita hitung $\sin C$ menggunakan sifat trigonometri berikut. $$\begin{aligned} \sin ^2 C + \cos ^2 C &= 1 \\ \sin ^2 C &= 1 - \cos ^2 C \\ \sin ^2 C &= 1 - ( \frac{35}{91} )^2 \\ \sin ^2 C &= 1 - \frac{1225}{8281} \\ \sin ^2 C &= \frac{7056}{8281} \\ \sin C &= \sqrt{ \frac{7056}{8281} } \\ \sin C &= \frac{84}{91} \end{aligned}$$

Perhatikan segitiga siku-siku $\text{BCD}$. Pada segitiga ini, berlaku $$\begin{aligned} \sin C &= \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi miring}} \\ \sin A &= \frac{\text{BD}}{\text{BC}} \\ \frac{84}{91} &= \frac{\text{BD}}{13} \\ \text{BD} &= \frac{84 \cdot 13}{91} \\ \text{BD} &= 12 \end{aligned}$$ Jadi, tinggi segitiga $\text{ABC}$ dari titik $\text{B}$ adalah $\text{12 cm}$.

Terdapat cara lain yang lebih singkat dalam menentukan tinggi segitiga sembarang. Cara tersebut dibahas dalam tulisan berjudul Cara Mudah Menentukan Tinggi Segitiga Sembarang.

Komentar