KimiaMath

Menghitung Tinggi Segitiga Sembarang dengan Rumus Pythagoras

Oleh Aiz — 22 Juni 2019

Kategori: Geometri

Menghitung Tinggi Segitiga Sembarang dengan Rumus Pythagoras

Garis tinggi adalah salah satu garis istimewa pada segitiga. Garis ini didapat dengan menarik garis dari titik sudut menuju sisi di depannya tegak lurus. Dengan panjang garis tinggi ini, kita bisa menghitung luas segitiga. Menghitung garis tinggi tidak mutlak untuk mencari luas segitiga, ada kalanya garis tinggi merupakan objek yang ditanyakan dalam soal.

Dalam tulisan ini, pembahasan dikhususkan pada segitiga sembarang, karena perhitungan garis tinggi pada segitiga inilah yang paling rumit. Berbeda dengan jenis segitiga lainnya, misalnya pada segitiga sama sisi dan segitiga sama kaki. Pada kedua segitiga ini, garis tinggi dapat dihitung dengan rumus pythagoras.

Ada beberapa cara untuk menghitung tinggi segitiga sembarang, jika panjang ketiga sisinya diketahui. Misalnya dengan menggunakan teorema pythagoras, atau dengan aturan cosinus. Dalam tulisan ini, kita akan menghitung tinggi segitiga sembarang dengan cara pertama. Agar lebih mudah dipahami, kita langsung ke pembahasan soal.

Contoh 1

Diketahui sebuah segitiga $\text{ABC}$ dengan panjang $\text{AB=21 cm}$, $\text{BC=20 cm}$, dan $\text{AC=13 cm}$. Tentukan tinggi segitiga dari titik sudut $\text{C}$.

Pembahasan

Pertama, kita buat sketsa segitiga tersebut. Kita misalkan garis tinggi dari titik $\text{C}$ adalah $\text{CD}$.

Menentukan tinggi segitiga sembarang

Ruas garis $\text{AB}$ terbagi menjadi $\text{AD}$ dan $\text{BD}$. Misalkan panjang $\text{AD}=x$, sehingga panjang $\text{BD} = 21-x$.

Garis tinggi $\text{CD}$ ini membagi segitiga $\text{ABC}$ menjadi segitiga siku-siku $\text{ACD}$ dan $\text{BCD}$. Dengan menggunakan teorema pythagoras pada segitiga $\text{ACD}$ dan $\text{BCD}$ diperoleh $$\begin{aligned} \text{CD}^2 &= \text{AC}^2-\text{AD}^2 \\ \text{CD}^2 &= \text{BC}^2-\text{BD}^2 \end{aligned}$$

Dari kedua persamaan di atas, kita peroleh $$\begin{aligned} \text{AC}^2-\text{AD}^2 &= \text{BC}^2-\text{BD}^2 \\ 13^2-x^2 &= 20^2-\left( 21-x \right) ^2 \\ 169-x^2 &= 400-\left( x^2-42x + 441 \right) \\ 169-x^2 &= 400-x^2 + 42x-441 \\ 169 &= 400 + 42x-441 \\ 169 &= 42x-41 \\ 42x &= 169 + 41 \\ 42x &= 210 \\ x &= 5 \end{aligned}$$

Hitung tinggi segitiga $\text{ABC}$ dari titik $C$ dengan teorema pythagoras. $$\begin{aligned} \text{CD}^2 &= \text{AC}^2-\text{AD}^2 \\ &= 13^2-x^2 \\ &= 13^2-5^2 \\ &= 169-25 \\ &= 144 \end{aligned}$$

Dengan demikian, $\text{CD}=\sqrt{144}=12 \text{ cm}$. Jadi, tinggi segitiga $\text{ABC}$ dari titik $\text{C}$ adalah $12 \text{ cm}$.

Contoh 2

Diketahui sebuah segitiga $\text{ABC}$ dengan panjang $\text{AB=15 cm}$, $\text{BC=13 cm}$, dan $\text{AC=14 cm}$. Tentukan tinggi segitiga dari titik sudut $\text{B}$.

Pembahasan

Pertama, kita buat sketsa segitiga tersebut. Kita misalkan garis tinggi dari titik $\text{B}$ adalah $\text{BD}$.

Menentukan tinggi segitiga sembarang

Ruas garis $\text{AC}$ terbagi menjadi $\text{CD}$ dan $\text{AD}$. Misalkan panjang $\text{AD}=x$, sehingga panjang $\text{BD} = 21-x$.

Garis tinggi $\text{BD}$ ini membagi segitiga $\text{ABC}$ menjadi segitiga siku-siku $\text{BCD}$ dan $\text{ABD}$. Dengan menggunakan teorema pythagoras pada segitiga $\text{BCD}$ dan $\text{ABD}$ diperoleh $$\begin{aligned} \text{BD}^2 &= \text{BC}^2-\text{CD}^2 \\ \text{BD}^2 &= \text{AB}^2-\text{AD}^2 \end{aligned}$$

Dari kedua persamaan di atas, kita peroleh $$\begin{aligned} \text{BC}^2-\text{CD}^2 &= \text{AB}^2-\text{AD}^2 \\ 13^2-x^2 &= 15^2-\left( 14-x \right) ^2 \\ 169-x^2 &= 225-\left( x^2-28x + 196 \right) \\ 169-x^2 &= 225-x^2 + 28x-196 \\ 169 &= 225 + 28x-196 \\ 169 &= 28x+29 \\ 28x &= 169-29 \\ 28x &= 140 \\ x &= 5 \end{aligned}$$

Hitung tinggi segitiga $\text{ABC}$ dari titik $B$ dengan teorema pythagoras. $$\begin{aligned} \text{BD}^2 &= \text{BC}^2-\text{CD}^2 \\ &= 13^2-x^2 \\ &= 13^2-5^2 \\ &= 169-25 \\ &= 144 \end{aligned}$$

Dengan demikian, $\text{BD}=\sqrt{144}=12 \text{ cm}$. Jadi, tinggi segitiga $\text{ABC}$ dari titik $\text{B}$ adalah $12 \text{ cm}$.

Terdapat cara lain yang lebih singkat dalam menentukan tinggi segitiga sembarang. Cara tersebut dibahas dalam tulisan berjudul Cara Mudah Menentukan Tinggi Segitiga Sembarang.

Komentar